Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 28
Determine os valores máximos e mínimo absolutos de no conjunto D.
D é a região triangular fechada com vértices
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom?
Dada a função:
A gente quer encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dessa função dentro do conjunto D que vocês irão ver logo abaixo, num gráfico.
Como é um polinômio e é contínuo em , afirmamos que existe máximo e mínimo absoluto, em que é a região triangular fechada, com vértices
Veja que temos então lados aqui, que é dado por , que é dado por e que é dado por .
Vamos calcular as derivadas parciais, resolver o sistema das equações para encontrar os valores de e para o ponto critico. Em seguida, encontraremos os valores máximos e mínimos no limite de e comparar seus valores.
Bora lá!
Passo 2
Vamos encontrar as derivadas parciais:
Temos as duas derivadas parciais como:
Encontrando os zeros dessas duas funções:
E
Temos então que nos dá como o único ponto crítico
Substituindo em:
Em encontramos que:
e
para o intervalo:
Como a função é decrescente em , o valor máximo é
e o mínimo é
Em
e
Para:
Como a função é crescente em , o valor é mínimo é
e o máximo é
Em
e
Tal equação possui valor mínimo em
em que
e o valor máximo em
em que
Assim, o máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto é
Resposta
O máximo absoluto de em é e o mínimo absoluto é