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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 48

Encontre as dimensões do quadrado retangular com o maior volume se a área da superfície total é dada por 64 cm².

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem a situação onde precisamos encontrar as dimensões de um quadrado retangular com área da superfície total de 64 cm² e precisamos encontrar o seu volume.

Veja então que ter área de superfície total de 64 pode ser escrito de forma matemática como:

2 x y + x z + y z = 64

A nossa função volume é dada por:

V x , y , z = x y z

E queremos maximizar ela. Para isso iremos transformar ela em uma função de duas variáveis, e iremos também derivar ela em relação a x e a y .

Com as derivadas parciais V x e V y iremos encontrar os pontos críticos, que estão em:

V x = 0

E

V y = 0

Passo 2

Vamos então reescrever nossa função volume utilizando que:

2 x y + x z + y z = 64

Temos então que z :

z = 32 - x y x + y

Então o volume será:

V x , y = x y 32 - x y x + y

Então agora precisamos encontrar as derivadas parciais:

V x   ; V y

Veja que teremos que aplicar a regra do quociente para derivadas:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Aplicando aqui:

V x = - x 2 + 2 x y - 32 y 2 x + y 2

E agora para V y :

V y = - y 2 + 2 x y - 32 x 2 x + y 2

Iremos então encontrar os pontos críticos, mas veja que não podemos ter variáveis iguais a zero, pois não queremos volume zero.

- x 2 + 2 x y - 32 y 2 x + y 2 = 0

x 2 + 2 x y = 32

E

- y 2 + 2 x y - 32 x 2 x + y 2 = 0

y 2 + 2 x y = 32

Passo 3

Resolvendo esse sistema subtraindo uma equação da outra, teremos que:

x = y

Então temos que:

x 2 + 2 x 2 = 32

Encontramos:

x = 4 2 3

A partir dai iremos encontrar outros valores que precisamos:

z = 32 - x 2 2 x = x

E como:

x = y = z = 4 6 3

Nosso volume é:

V = 128 6 9   c m ³

Resposta

V = 128 6 9   c m ³

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