Considere a forma quadrática , ande , e são constantes não simultaneamente nulas. Seja . Suponha que seja solução do sistema

Sejam e , , as raízes da equação

Prove que e são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de sobre a circunferência .

Vamos começar calculando o vetor :

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :

E pronto, já temos os gradientes!

Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

Ou, rearranjando e reescrevendo para o ponto :

Agora, dividindo a 1ª equação pela 2ª, é obtido

Logo, . Substituindo da 3ª equação, saímos com e, retornando para a 1ª equação, finalmente obtemos .

Jogando os valores que encontramos na definição de , obtemos

Daí,

Mas , logo

Já falta pouco!

Mas os termos nesse numerador se cancelam:

Logo,

Te lambar que, no raciocínio anterior, tínhamos deduzido a fórmula ? Pois bem, esta expressão pode ser escrita como

Ou, ainda,

Mas esta última expressão é exatamente igual a !! Sendo uma equação de segundo grau em , esta admite apenas duas soluções: e .

Vamos supor que . Logo, pela relação que deduzimos no passos anterior, e .

Ou seja, representa o mínimo da na região de análise (circunferência da equação do ), e representa o máximo da nesta região, como queríamos provar!