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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 29

Considere a forma quadrática Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 , ande a , b e c são constantes não simultaneamente nulas. Seja g x , y = x 2 + y 2 - 1 . Suponha que x 0 , y o ,   z 0 seja solução do sistema

∇ Q x , y = λ ∇ g x , y x 2 + y 2 = 1

Sejam λ 1 e λ 2 , λ 1 ≤ λ 2 , as raízes da equação

a - λ b b c - λ = 0

Prove que λ 1 e λ 2 são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de Q sobre a circunferência x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Não tem segredo, devemos resolver o sisteminha

∇ Q x , y = λ ∇ g x , y x 2 + y 2 = 1

para provar que realmente Q m i n = λ 1 e Q m a x = λ 2 . Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ Q :

∇ Q = ∂ Q ∂ x , ∂ Q ∂ y = 2 a x + 2 b y , 2 b x + 2 c y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = 2 x , 2 y

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ Q e ∇ g no sisteminha ∇ Q = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 a x + 2 b y , 2 b x + 2 c y = λ 2 x , 2 y x 2 + y 2 = 1

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

2 a x + 2 b y = λ 2 x 2 b x + 2 c y = λ 2 y x 2 + y 2 = 1

Ou, rearranjando e reescrevendo para o ponto x 0 , y 0 :

x 0 λ 0 - a = b y 0 y 0 λ 0 - c = b x 0 x 0 2 + y 0 2 = 1

Agora, dividindo a 1ª equação pela 2ª, é obtido

x 0 λ 0 - a y 0 λ 0 - c = y 0 x 0

Logo, y 0 2 = x 0 2 λ 0 - a λ 0 - c . Substituindo da 3ª equação, saímos com x 0 2 = 1 1 + λ 0 - a λ 0 - c e, retornando para a 1ª equação, finalmente obtemos λ 0 - a 2 = b 2 λ 0 - a λ 0 - c .

Jogando os valores que encontramos na definição de Q ( x , y ) , obtemos

Q x 0 , y 0 = a x 0 2 + 2 b x 0 y 0 + c y 0 2 = a x 0 2 + 2 b x 0 x 0 λ 0 - a λ 0 - c + c x 0 2 λ 0 - a λ 0 - c

Daí,

Q x 0 , y 0 = x 0 2 a + 2 b λ 0 - a λ 0 - c + c λ 0 - a λ 0 - c = 1 1 + λ 0 - a λ 0 - c a + 2 b λ 0 - a λ 0 - c + c λ 0 - a λ 0 - c

Mas λ 0 - a λ 0 - c = λ 0 - a 2 b 2 , logo

Q x 0 , y 0 = 1 1 + c λ 0 - a λ 0 - c a + 2 b λ 0 - a 2 b 2 + c λ 0 - a λ 0 - c = λ 0 - c λ 0 - c + λ 0 - a a + 2 λ 0 - a + c λ 0 - a λ 0 - c

Já falta pouco!

Q x 0 , y 0 = 1 λ 0 - c + λ 0 - a a λ 0 - c + 2 λ 0 - c λ 0 - a + c λ 0 - a = a λ 0 - c + 2 λ 0 λ 0 - c - a 2 λ 0 - c + c λ 0 - a λ 0 - c + λ 0 - a = - a λ 0 - c + 2 λ 0 2 - 2 λ 0 c + c λ 0 - c a 2 λ 0 - c - a

Mas os termos nesse numerador se cancelam:

Q x 0 , y 0 = λ 0 - a + 2 λ 0 - 2 λ 0 c + c 2 λ 0 - c - a = λ 0 2 λ 0 - c - a 2 λ 0 - c - a

Logo,

Q x 0 , y 0 = λ 0

Passo 4

Te lambar que, no raciocínio anterior, tínhamos deduzido a fórmula λ 0 - a 2 = b 2 λ 0 - a λ 0 - c ? Pois bem, esta expressão pode ser escrita como

λ 0 - a = b 2 λ 0 - c

Ou, ainda,

a - λ 0 c - λ 0 - b 2 = 0

Mas esta última expressão é exatamente igual a a - λ b b c - λ !! Sendo uma equação de segundo grau em λ 0 , esta admite apenas duas soluções: λ 1 e λ 2 .

Vamos supor que λ 1 ≤ λ 2 . Logo, pela relação que deduzimos no passos anterior, Q 1 = λ 1 e Q 2 = λ 2 .

Ou seja, Q m i n = λ 1 representa o mínimo da Q na região de análise (circunferência da equação do g x , y ), e Q m a x = λ 2 representa o máximo da Q nesta região, como queríamos provar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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