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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 19

Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1 m 3 de volume e com a forma de um paralelepípedo-retângulo. O material a ser utilizado na confecção do fundo custa o dobro do que será utilizado nas laterais. Determinar as dimensões da caixa que minimiza o custo de material.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados a , b e c , minimize o custo C a , b , c , sendo o volume constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Uma representação do problema nos ajudará a desenvolver melhor a solução:

Vamos chamar de $ o custo por unidade de área na lateral.

A área lateral da figura é A l a t e r a l = 2 a c + 2 b c , enquanto que a área de base é A b a s e = a b . Logo, o custo total fica C = $ A l a t e r a l + 2 $ A b a s e = $ 2 a c + 2 b c + 2 a b . O volume é, claro, dado por V = a b c = 1 m 3 .

Seja estão S = C 2 $ = a c + b c + a b a nossa definição de custo.

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = 2 a b + a c + b c  

g = a b c - 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o volume deve ser V ).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ a , ∂ f ∂ b , ∂ f ∂ c = 2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ a , ∂ g ∂ b , ∂ g ∂ c = b c , a c , a b

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 b + 2 c , 2 a + 2 c , 2 a + 2 b = λ b c , a c , a b   a b c - 1 = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

2 b + 2 c = λ b c 2 a + 2 c = λ a c 2 a + 2 b = λ a b     a b c = 1

Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é

b + c a + c = b a

O que implica de imediato que a = b .

Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos

a + b b + c = a c

O que, tomando b = a , nos leva de imediato até c = a . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos a = b = c = L ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:

a b c = L 3 = 1

Ou seja, temos que a caixa de menor custo será um cubo de lado igual a 1 m !

Resposta

Cubo de lado 1 m

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Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. f) f x ,y = x 2 - 2 x y + 2 y 2 em A = { x ,y∈R 2 ; x + y ≤ 1 } .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. b )   f x ,   y = 3 x - y no conjunto A   de todos x ,   y tais que x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   x 2 + y 1 ≤ 3 ,   x + y ≤ 1
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. f x ,y = 3 x - y no conjunto A de todos x ,y tais que x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,y - x ≤ 3 ,x + y ≤ 4 e 3 x + y ≤ 6 .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. c) f x ,y = x 2 + 3 x y - 3 x em A = { x ,y∈R 2 ; x ≥ 0 ,y ≥ 0 e x + y ≤ 1 .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. d) f x ,y = x y em A = { x ,y∈R 2 ; x ≥ 0 ,y ≥ 0 e 2 x + y ≤ 5 } .