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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 44

Determine os momentos de inércia do tijolo retangular de dimensões a , b e c , massa M e densidade constante se o centro do tijolo está na origem e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados.

Passo 1

Hey, gênio da matemática! Preparado para mais um desafio? Vamos mostrar como se resolve isso!

Esse exercício nos pede para que determine os momentos de inércia do tijolo retangular de dimensões a , b e c , massa M e densidade constante se o centro do tijolo está na origem e suas arestas são paralelas aos eixos coordenados.

Nosso primeiro passo é delimitar o nosso sólido. Como ele possui o centro na origem, então, os seus limites são:

- a 2 ≤ x ≤ a 2

- b 2 ≤ y ≤ b 2

- c 2 ≤ z ≤ c 2

Pronto, agora já sabemos os limites de integração do nosso problema. Por fim, como queremos calcular os momentos de inércia do tijolo, precisamos relembrar a fórmula para calcular cada um dos momentos. Elas são dadas por:

I x = ∭ E y 2 + z 2 ρ x , y , z d V

I y = ∭ E x 2 + z 2 ρ x , y , z d V

I y = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z ρ x , y , z d V

E como a densidade é constante, podemos retirá-la da integral. Além disto, podemos relacionar a densidade com a massa M da seguinte forma:

M = ∭ E ρ x , y , z d V = ρ ∭ E d V = ρ a b c

ρ = M a b c

Pronto, agora podemos partir para as contas.

Passo 2

Vamos calcular primeiramente o momento de inércia I x . Portanto,

I x = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 y 2 + z 2 ρ x , y , z d x d y d z

Substituindo ρ x , y , z = M a b c :

I x = M a b c ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 y 2 + z 2 d x d y d z

Integrando primeiro em relação a x :

∫ - a / 2 a / 2 d x = a 2 - - a 2 = a

I x = M a b c .   a ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 y 2 + z 2 d y d z

Agora, integraremos em relação a y :

∫ - b / 2 b / 2 y 2 + z 2 d y = y 3 3 + z 2 y - b 2 b 2

= b 3 12 + z 2 b

Substituindo na expressão de I x :

I x = M a b c ⋅ a ∫ - c / 2 c / 2 b 3 12 + z 2 b d z

Integraremos agora em relação a z :

∫ - c / 2 c / 2 b 3 12 + z 2 b d z = b 3 12 z + z 3 b 3 - c 2 c 2

I x = M a b c ⋅ a b 3 12 z + z 3 b 3 - c 2 c 2

Simplificando:

I x = M b 2 c 2 6

Passo 3

Já para o momento de inércia I y seguiremos uma abordagem similar:

I y = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + z 2 ρ x , y , z d x d y d z

Substituindo ρ x , y , z = M a b c :

I y = M a b c ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + z 2 d x d y d z

Integrando primeiro em relação a x :

∫ - a / 2 a / 2 x 2 + z 2 d x = x 3 3 + z 2 x - a 2 a 2

= a 3 12 + a z 2

Substituindo na expressão de I y :

I y = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 a 3 12 + z 2 a d y d z

Integrando em relação a z : = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 12 + a z 2 ⋅ y - b 2 b 2 d z

∫ - c / 2 c / 2 a 3 12 + a z 2 d z = a 3 12 z + z 3 a 3 - c 2 c 2

I y = M a b c ⋅ b a 3 12 . c + c 3 a 12

Simplificando:

M a b c ⋅ b = M a 2 c 2 6

Passo 4

Por fim, para o momento I z temos,

I z = ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + y 2 ρ x , y , z d x d y d z

Substituindo ρ x , y , z = M a b c :

I z = M a b c ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 ∫ - a / 2 a / 2 x 2 + y 2 d x d y d z

Integrando primeiro em relação a x :

I z = M a b c ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 x 3 3 + y 2 x - a 2 a 2 d y d z

I z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 ∫ - b / 2 b / 2 a 3 12 + a y 2 d y d z

Integrando primeiro em relação a y :

I z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 y 12 + a y 3 3 - b 2 b 2 d z

I z = M a b c ⋅ ∫ - c / 2 c / 2 a 3 b 3 6 d z

Simplificando:

I z = a 3 b 3 6 ⋅ z - c 2 c 2 = M a 2 b 2 6

Resposta

I x = M b 2 c 2 6

I y = M a 2 c 2 6

I z = M a 2 b 2 6

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