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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 13

Encontre os pontos da curva x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 80 = 0 mais próximos da origem. Desenhe a curva.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distâncias de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a curva dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto x , y à origem é dada por x 2 + y 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2

g = x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 80  

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a curva).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x 2 + y 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x 2 + y 2 ? Afinal, procurar o menor x 2 + y 2 é o mesmo que procurar o menor x 2 + y 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x , 2 y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = 2 x - 6 y , - 6 x - 14 y

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y = λ 2 x - 6 y , - 6 x - 14 y x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 80 = 0

Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

2 x = λ 2 x - 6 y 2 y = λ - 6 x - 14 y x 2 - 6 x y - 7 y 2 + 80 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é tentar isolar x e y nas duas primeiras equações:

x λ - 1 = 3 λ y y - 7 λ - 1 = 3 λ x

Dividindo uma equação pela outra, obtemos que λ - 1 - 7 λ - 1 = y x 2 . Mas, multiplicando as equações, resulta λ - 1 - 7 λ - 1 = 9 λ 2 , cuja solução é λ = 3 ± 5 16 , e, juntando tudo, obtemos

y 2 = x 2 λ - 1 - 7 λ - 1

Ou seja, supondo que x e y tenham o mesmo sinal (cuidando o sinal ao tirar a raiz quadrada):

y = x λ - 1 - 7 λ - 1

Então, substituindo na última equação do sisteminha, temos

x 2 - 6 x y - 7 x 2 λ - 1 - 7 λ - 1 + 80 = 0

Agora, ficamos com

x 2 - 6 x 2 λ - 1 - 7 λ - 1 - 7 x 2 λ - 1 - 7 λ - 1 + 80 = x 2 1 - 6 λ - 1 - 7 λ - 1 - 7 λ - 1 - 7 λ - 1 + 80 = 0

Substituindo o valor de λ = 3 - 5 16 temos λ - 1 - 7 λ - 1 = 9 , e portanto x = ± 1 e y = ± 3 . Isto nos fornece dois pontos mas próximos à origem:

± 1 , ± 3

Podemos ver este comportamento através do gráfico aproximado da curva. Perceba como realmente esses pontos tem a distância mínima à origem.

Resposta

± 1 , ± 3

Ver Outros Exercícios desse livro

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Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. e) f x ,y = y 2 - x 2 em A = { x ,y∈R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 } .
Suponha que T x , y = 4 - x 2 - y 2 represente a distribuição da temperatura no plano. Seja A = {x , y ∈ R 2 ; x ≥ 0,y ≥ 022 y + x ≤ 4 }
Determine ( x , y ) que maximiza 2 x + y com x , y tais que y = 1 - 2 x e 0 ≤ x ≤ 1 2
Determine o valor máximo de f x , y = x + 5 y onde x e y estão sujeitos a 5 x + 6 y ≤ 30 ,3 x + 2 y ≤ 12 ,x ≥ , y ≥ ,
Determine ( x , y ) com x 2 + y 2 ≤ 1 , que maximiza 2 x + y