Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 13
Encontre os pontos da curva mais próximos da origem. Desenhe a curva.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distâncias de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a curva dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Lembrando que a distância de um ponto à origem é dada por , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a curva).
Hmmmm, mas note que termos definido nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor ? Afinal, procurar o menor é o mesmo que procurar o menor ! Espertezaaaa!
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:
Agora, para resolver, o mais sensato é tentar isolar e nas duas primeiras equações:
Dividindo uma equação pela outra, obtemos que . Mas, multiplicando as equações, resulta , cuja solução é , e, juntando tudo, obtemos
Ou seja, supondo que e tenham o mesmo sinal (cuidando o sinal ao tirar a raiz quadrada):
Então, substituindo na última equação do sisteminha, temos
Agora, ficamos com
Substituindo o valor de temos , e portanto e . Isto nos fornece dois pontos mas próximos à origem:
Podemos ver este comportamento através do gráfico aproximado da curva. Perceba como realmente esses pontos tem a distância mínima à origem.
Resposta
