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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 25

Determine P na elipse x 2 + 2 y 2 = 6 e Q na reta x + y = 4 de modo que a distância entre P e Q seja mínima.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância entre dois pontos, sujeito a uma restrição específica para cada ponto”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância entre um ponto P = x p , y p e um ponto Q = x q , y q é dada por x p - x q 2 + y p - y q 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x p - x q 2 + y p - y q 2

g = x p 2 + 2 y p 2 - 6  

h = x q + y q - 4

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g (e h ) sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, os pontos DEVEM estar SOBRE as respectivas curvas).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x p - x q 2 + y p - y q 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x p - x q 2 + y p - y q 2 ? Afinal, procurar o menor x p - x q 2 + y p - y q 2 é o mesmo que procurar o menor x p - x q 2 + y p - y q 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Note que estamos trabalhando num problema de 4 incógnitas!

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x p , ∂ f ∂ y p , ∂ f ∂ x q , ∂ f ∂ y q = 2 x p - x q , 2 y p - y q , - 2 x p - x q , - 2 y p - y q

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x p , ∂ g ∂ y p , ∂ g ∂ x q , ∂ g ∂ y q = 2 x p , 4 y p , 0,0

Tranquilo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ h :

∇ h = ∂ h ∂ x p , ∂ h ∂ y p , ∂ h ∂ x q , ∂ h ∂ y q = 0,0 , 1,1

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f , ∇ g e ∇ h no sisteminha ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0 , o que nos fornece:

2 x p - x q , 2 y p - y q , - 2 x p - x q , - 2 y p - y q = λ 2 x p , 4 y p , 0,0 + μ 0,0 , 1,1 x p 2 + 2 y p 2 - 6 = 0 x q + y q - 4 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 6 equações:

2 x p - x q = λ 2 x p 2 y p - y q = 4 λ y p - 2 x p - x q = μ - 2 y p - y q = μ x p 2 + 2 y p 2 - 6 = 0 x q + y q - 4 = 0

Agora, para resolver, podemos ir isolando sucessivamente as coisas... por exemplo, tomando μ = - 2 x p - x q e λ = x p - x q x p passamos para um sistema de 4 equações:

2 y p - y q = 4 x p - x q x p y p - 2 y p - y q = - 2 x p - x q x p 2 + 2 y p 2 - 6 = 0 x q + y q - 4 = 0

A partir da 4ª eq. temos x q = - y q + 4 Substituindo, passamos para um sistema de 3 equações:

y p - y q = 2 x p + y q - 4 x p y p y p - y q = x p + y q - 4 x p 2 + 2 y p 2 - 6 = 0

Dividindo a 1ª pela 2ª, surgimos com y p = 1 2 x p . Substituindo na 3ª e resolvendo, achamos x p = 2 , e daí y p = 1 2 x p = 1 . Substituindo em qualquer das equações restantes, cai y q = 3 2 e daí x q = - y q + 4 = 5 2 .

No mais! Os pontos são:

P = 2,1

Q = 5 2 , 3 2

Resposta

P = 2,1

Q = 5 2 , 3 2

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