14.6. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s)

f(x, y) = x² + y²; x⁴ + y⁴ = 1

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver mais uma atividade hoje.

A gente vai encontrar os valores máximos e mínimos da função:

f x , y = x 2 + y 2

Tudo isso dentro da restrição:

x 4 + y 4 = 1

E usando os multiplicadores de Lagrange, isso significa que teremos que fazer:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Veja então que teremos que realiza o calculo do gradiente das funções, que são dados por:

∇ f = f x , f y

Então deveremos calcular as derivadas parciais, que são encontradas derivando em relação a uma variável, e considerando as outras como constantes.

Depois disso iremos encontrar os valores de x e y em função de λ , com esses valores em mãos iremos utilizar eles na restrições para descobrirmos os nossos máximos e mínimos.

Passo 2

Para começar o exercício, temos que determinar os multiplicadores de Lagrange.

Para isso vamos começar calculando o gradiente de f ( x , y ) :

f x , y = x 2 + y 2

Calculando as derivadas parciais da forma que falamos:

f x = 2 x

E

f y = 2 y

Teremos então nosso gradiente como:

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >  

∇ f = < 2 x ,   2 y >

E também precisamos do gradiente de g x , y :

g x , y = x 4 + y 4 - 1

Calculando as derivadas parciais da forma que falamos:

g x = 4 x 3

E

g y = 4 y 3

Teremos então o nosso gradiente:

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y >

∇ g   = < 4 λ x 3 ,   4 λ y 3 >

Passo 3

Então nós temos que satisfazer a igualdade:

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Agora temos igualando cada coordenada:

2 x = 4 λ x 3

E

2 y = 4 λ y 3

Simplificando temos:

2 λ x 2 = 1

E

2 λ y 2 = 1

Teremos então:

x 2 = 1 2 λ

E

y 2 = 1 2 λ

Finalmente:

y = ± 1 2 λ

E

x = ± 1 2 λ

Passo 4

Agora é hora de utilizarmos a restrição:

x 4 + y 4 = 1

x 2 2 + y 2 2 = 1

Substituindo:

1 2 λ 2 + 1 2 λ 2 = 1

1 4 λ 2 + 1 4 λ 2 = 1

2 4 λ 2 = 1

Simplificando:

1 2 λ 2 = 1

Teremos:

λ = ± 1 2

Passo 5

Hora de encontramos os x e y :

x = ± 1 2 λ

x = 1 2

E

y = 1 2

Veja que não podemos utilizar os valores negativos de λ aqui. Agora vamos encontrar os máximos e mínimos aqui, substituindo esses valores na função:

f 1 2 ,   1 2 = 1 2 2 + 1 2 2

f 1 2 , 1 2 = 1 2 + 1 2

f 1 2 , 1 2 = 2

Resposta

1 2 4 , 1 2 4

É o limite máximo e

0 , ± 1 ,   ( ± 1 ,   0 )

São os limites mínimos.

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