Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 6
14.6. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s)
Passo 1
Oie, tudo bem? Vamos resolver mais uma atividade hoje.
A gente vai encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Tudo isso dentro da restrição:
E usando os multiplicadores de Lagrange, isso significa que teremos que fazer:
Veja então que teremos que realiza o calculo do gradiente das funções, que são dados por:
Então deveremos calcular as derivadas parciais, que são encontradas derivando em relação a uma variável, e considerando as outras como constantes.
Depois disso iremos encontrar os valores de e em função de com esses valores em mãos iremos utilizar eles na restrições para descobrirmos os nossos máximos e mínimos.
Passo 2
Para começar o exercício, temos que determinar os multiplicadores de Lagrange.
Para isso vamos começar calculando o gradiente de :
Calculando as derivadas parciais da forma que falamos:
E
Teremos então nosso gradiente como:
E também precisamos do gradiente de :
Calculando as derivadas parciais da forma que falamos:
E
Teremos então o nosso gradiente:
Passo 3
Então nós temos que satisfazer a igualdade:
Agora temos igualando cada coordenada:
E
Simplificando temos:
E
Teremos então:
E
Finalmente:
E
Passo 4
Agora é hora de utilizarmos a restrição:
Substituindo:
Simplificando:
Teremos:
Passo 5
Hora de encontramos os e :
E
Veja que não podemos utilizar os valores negativos de aqui. Agora vamos encontrar os máximos e mínimos aqui, substituindo esses valores na função:
Resposta
É o limite máximo e
São os limites mínimos.