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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 14

Extremos em uma circunferência Encontre os valores má-

ximo e mínimo de 3x – y + 6 sujeitos à restrição x2 + y2 = 4

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos os valores máximos e mínimos de 3 x - y + 6 sujeito à restrição x 2 + y 2 = 4

Passo 2

Começaremos calculando os valores dos gradientes para usarmos no cálculo pelo método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f = 3 i - j ∇ g = 2 x i + 2 y j

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f = λ ∇ g 3 = 2 λ x   - 1 = 2 λ y

Temos então que

λ = 3 2 x  e  - 1 = 2 3 2 x y

Usando a segunda equação encontramos

y = - x 3

Passo 3

Voltando o valor de y encontrado na restrição, temos:

x 2 + - x 3 2 = 4 10 x 2 = 36 x = ± 6 10  Logo  x = 6 10 , levando a  y = - 2 10  OU  x = - 6 10  levando a  y = 2 10 .

Passo 4

Para cada ponto então temos:

f 6 10 , - 2 10 = 20 10 + 6 = 2 10 + 6 ≈ 12,325  é o valor máximo da função.  f - 6 10 , 2 10 = - 2 10 + 6 ≈ - 0,325  é o valor mínimo da função. 

Resposta

Resposta nos passos.

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