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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 9

14.9. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = 1 + x y x + y

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = 1 + x y x + y

Vamos derivar primeiro em relação à x , vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto é a seguinte:

f x = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = 1 + x y

Então

h ' = y

E

g = x + y

Então

g ' = 1

Agora a gente pode fazer a derivada

f x = y x + y + 1 + x y 1

Vamos eliminar os parênteses

f x = x y + y 2 + 1 + x y

f x = y 2 + 2 x y + 1

Agora a gente faz a derivada em relação a y , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto

f y = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Vamos fazer

h = 1 + x y

Então

h ' = x

E

g = x + y

Então

g ' = 1

Agora a gente pode fazer a derivada

f y = x x + y + 1 + x y 1

Vamos eliminar os parênteses

f y = x 2 + x y + 1 + x y

f y = x 2 + 2 x y + 1

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = y 2 + 2 x y + 1 = 0

f y = x 2 + 2 x y + 1 = 0

Olha só, temos um sistema linear, duas equações e duas incógnitas, então para resolver a gente pode fazer f x - f y

y 2 + 2 x y + 1 - x 2 + 2 x y + 1 = 0

Vamos colocar o menos para dentro dos parênteses

y 2 + 2 x y + 1 - x 2 - 2 x y - 1 = 0

y 2 - x 2 + 2 x y - 2 x y + 1 - 1 = 0

y 2 - x 2 = 0

Daqui a gente pode concluir que

y 2 = x 2

Ou

y = x = ± x

Agora a gente pode substituir essa relação nas equações, primeiro com y = x

f y = x 2 + 2 x ( x ) + 1 = 0

Então

x 2 + 2 x 2 + 1 = 0

3 x 2 + 1 = 0

Agora podemos isolar o x

x 2 = - 1 3

Isso não dá um valor real ☹, então não podemos usar x = y , logo vamos usar y = - x

f y = x 2 + 2 x ( - x ) + 1 = 0

Então

x 2 - 2 x 2 + 1

- x 2 + 1 = 0

Agora sim vamos conseguir um valor para x

x 2 = 1

x = 1 = ± 1  

Passo 3

Agora que temos o valor de x podemos obter y , primeiro para x = 1

f x = y 2 + 2 1 y + 1 = 0

Então

y 2 + 2 y + 1 = 0

Vamos fazer um Bhaskara para achar esse y

y = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = - 2 ± 0 2

Então

y = - 1

Agora vamos fazer para x = - 1

f x = y 2 + 2 - 1 y + 1 = 0

Então

y 2 - 2 y + 1 = 0

De novo, por Bhaskara

y = 2 ± ( - 2 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = 2 ± 0 2

Então

y = 1

Então para x = 1 temos y = - 1 e para x = - 1 y = 1 , então os pontos que nos interessam são 1 , - 1 e - 1,1

Passo 4

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = y 2 + 2 x y + 1

Só o termo 2 x y depende de x , então

f x x = ∂ 2 x y ∂ x = 2 y

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = x 2 + 2 x y + 1

Só o termo 2 x y depende de y , então

f y y = ∂ 2 x y ∂ y = 2 x

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = y 2 + 2 x y + 1

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ y 2 + 2 x y + 1 ∂ x = 2 y + 2 x

Então

D x , y = 2 y ⋅ 2 x - 2 y + 2 x 2

Isso é igual

D x , y = 4 x y - 2 y + 2 x 2

Passo 5

Vamos testar para o ponto 1 , - 1

D 1 , - 1 = 4 1 - 1 - 2 1 + 2 - 1 2

D 1 , - 1 = - 4

Então

D 1 , - 1 < 0

Logo é um ponto de sela.

Agora o ponto - 1,1

D 1 , - 1 = 4 - 1 1 - 2 - 1 + 2 1 2

D 1 , - 1 = - 4

Então

D 1 , - 1 < 0

Esse ponto é de sela.

Passo 6

Agora só falta fazer o gráfico.

Aqui podemos ver os pontos de sela.

Resposta

1 , - 1 -Ponto de Sela

( - 1,1 ) -Ponto de Sela

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