Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 14
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Em relação ao gráfico, iremos utilizar o GeoGebra para plotarmos o gráfico dessa função.
Passo 1
Vamos encontrar aqui então as deriadas parciais:
Primeira derivada parcial em relação a :
Agora a gente deriva em relação a essa derivada que encontramos:
Agora a gente vai encontrar a derivada parcial em relação a :
E novamente iremos calcular a derivada parcial em relação a :
Por ultimo iremos calcular a derivada parcial de em relação a :
Passo 2
Agora que calculamos todas as derivadas parciais iremos em busca dos pontos críticos, para isso, deveremos encontrar os pontos e .
implica em ou
Já para:
implica em , logo
Logo, os pontos críticos devem ser . Agora vamos avaliar esse ponto critico em .
Assim,
logo todos os pontos críticos são pontos de sela.
Podemos ver esse comportamento no gráfico gerado no GeoGebra:
Resposta
Todos os pontos críticos são pontos de sela.