Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 12
- Determine uma função tal que e b) use a parte a) para calcular sobre a curva C dada.
, C é a semicircunferência superior que começa em (0,1) e termina em (2,1).
Passo 1
Para resolver a letra a) precisamos comparar as derivadas parciais da nossa função com as componentes do campo vetorial F. E com isto, resolveremos algumas integrais.
Já a letra b) precisaremos relembrar da seguinte relação:
No nosso caso, a integral será dada por:
Pontos final e inicial da nossa curva
Passo 2
Para obtermos esta função , temos que comparar cada um dos termos de com as derivadas parciais de . Isto é:
Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a . Com isto, obtemos que:
Precisamos descobrir quem é essa agora. Para isto, vamos ter de usar a outra equação do nosso sistema inicial. E para podermos utilizar essas equações, vamos ter de obter a derivada parcial da função em relação a . Portanto,
Portanto, . Sendo assim, a nossa função é:
E essa é a nossa função .
Passo 3
Conforme descrito no Passo 1, basta substituirmos as coordenadas do ponto final e inicial na função . Sendo assim, a nossa integral é:
E esse é o resultado da nossa integral.