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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 15

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f t = 1 + t + t 2 t

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a primitiva mais geral da função f t = 1 + t + t 2 t . Isso significa que precisamos encontrar uma função F t , somada a uma constante arbitrária C , cuja derivada seja igual a f ( t ) . Ou seja:

F ' t = f ( t )

Como a gente vai fazer a operação inversa da derivação, não podemos esquecer que quando temos uma potência, do tipo f x = x n , sua primitiva é dada por:

F x = x n + 1 n + 1 + C  

Para n   ≠ - 1 . E quando n = - 1 , temos f x = 1 x e a primitiva:

F x = ln ⁡ x + C

Então, vamos tentar separar os termos da nossa função e aplicar as regrinhas da primitivação.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos reescrever nossa f ( t ) em frações menores, na forma:

f t = 1 + t + t 2 t 1 2 = t - 1 2 + t 1 2 + t 3 2

Então, simplificando, temos:

f t = t - 1 2 + t 1 2 + t 3 2

Agora, para achar a primitiva, vamos aplicar as regrinhas que vimos no passo 1 . Fazendo:

F t = t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + t 1 2 + 1 1 2 + 1 + t 3 2 + 1 3 2 + 1 + C

Arrumando as coisas, temos:

F t = t 1 2 1 / 2 + t 3 2 3 / 2 + t 5 2 5 / 2 + C

Por fim,

F t = 2 t 1 2 + 2 3 t 3 2 + 2 5 t 5 2 + C

Passo 3

A gente pode derivar F ( t ) para conferir. Olha só:

F ' t = 1 2 ⋅ 2 t 1 2 - 1 + 3 2 ⋅ 2 3 t 3 2 - 1 + 5 2 ⋅ 2 5 t 5 2 - 1

Então,

F ' t = t - 1 2 + t 1 2 + t 3 2

→ F ' t = 1 + t + t 2 t

Logo, F ' t = f ( t ) , atendendo o teorema das primitivas, como queríamos.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F t = 2 t 1 / 2 + 2 3 t 3 / 2 + 2 5 t 5 / 2 + C

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