17. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

h(θ) = 2(θ) - θ

Passo 1

E ai, blz?

A função dada é a seguinte:

h θ = 2 ( θ )   - θ  

E temos que encontrar a primitiva/integral dela, que nada mais é a função original que quando derivada nos dará essa função h θ . E para comprovar que chegamos a função certa, vamos derivar voltar para a mesma h θ do começo. Integral e derivada são operações opostas como multiplicar e dividir.

Para nos ajudar vamos fazer uso dessa tabela:

Preparados? Bora lá!

Passo 2

Para achar a primitiva/integral, vamos fazer o cada termo segundo a tabelinha:

f x = ( x )   → F x = - c o s ⁡ ( x ) + C

E

f x = x   → F x = ( x )   + C

Juntando tudo em h ( θ ) :

F θ = 2 ⋅ - c o s   θ   - ( θ )   ) + C

Ajeitando tudo:

F θ = - 2 c o s   θ   - ( θ )   + C

Passo 3

Agora vamos derivar para ver se está certo! Podemos usar a mesma tabela, mas agora olhando inversamente, temos a primitiva e queremos a função original:

F θ = - 2 c o s   θ - ( θ )   + C

F ' θ = - 2 ( θ ) )   - θ  

E a derivada da constante é zero.

Organizando tudo:

F ' θ = 2 ( θ )   - θ  

Chegamos então que:

F ' θ = f ( θ )

E com isso nossa primitiva está correta.

Resposta

F θ = - 2 c o s   θ   - ( θ )   + C

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