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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 28

26. Encontre a área do maior trapézio que pode ser inscrito num círculo com raio 1 e cuja base é o diâmetro do círculo

Passo 1

O enunciado nos pede pra encontramos a área do maior trapézio que pode ser inscrito num círculo com raio 1 e cuja base é o diâmetro do círculo. Lembrando que a área de um trapézio é dada por:

A = B + b h 2

Agora vamos desenhar um esquema do trapézio inscrito no círculo de r = 1 :

Podemos dizer que:

2 d = b

B = 2

E por Pitágoras:

1 2 = h 2 + d 2

Logo:

b 2 2 = 1 - h 2

b = 2 1 - h 2

Passo 2

Agora vamos partir para achar a área!

A = B + b h 2

Substituindo B   e b :

A = 2 + 2 1 - h 2 h 2

A = 1 + 1 - h 2 h

A área máxima pode ser calculada fazendo d A d h = 0 , para isso precisamos primeiro derivar nossa equação em função de h . Para isso vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do produto:

d A d h = 1 2 d h d h   1 + 1 - h 2 h + d 1 + 1 - h 2 h d h h

d A d h =   1 + 1 - h 2 + d 1 + 1 - h 2 d A h

d 1 + 1 - h 2 d h = - h h 2 - 1

d A d h =   1 + 1 - h 2 - h 2 1 - h 2

d A d h =   1 + 1 - h 2 - h 2 1 - h 2

d A d h = 1 - 2 h 2 1 - h 2 + 1

Passo 3

Igualando a 0 :

1 - 2 h 2 1 - h 2 + 1 = 0

Como a coisa não tá muito bonita, vamos fazer uma substituição de variável.

h 2 = u

Logo,

1 - 2 u 1 - u + 1 = 0

1 - 2 u = - 1 - u

Elevando ao quadrado:

1 - 4 u + 4 u 2 = 1 - u

Então:

4 u 2 = 3 u

u = 0 ou u = 3 / 4

Agora é só voltar para variável h e correr pro abraço:

h = 0 ou A = 3 / 2

Como h ≠ 0 :

h = 3 / 2

Então nossa área fica o seguinte:

A 3 2 = 1 2 ⋅ 2 + 2 1 - ( 3 / 2 ) 2 ⋅ 3 / 2  

Fazendo as contas:

A 3 2 = 3 3 4

Resposta

3 3 4

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