12- A área da superfície de um cubo aumenta a taxa de 72 p o l^2 / s . A que taxa o volume do cubo varia quando o comprimento do lado é de x = 3 pol ?

Passo 1

É dito que a área da superfície aumenta a uma taxa de 72   p o l 2 / s . Matematicamente isso é:

d A d t = 72 p o l 2 m i n

Primeiramente precisamos encontrar a taxa de variação do lado do cubo. d x d t

Passo 2

Como a área de um cubo é de:

A = 6 x 2

Vamos derivar essa equação em relação ao tempo:

d d t A = 6 d d t ( x 2 )

d A d t = 6 × d d x x 2 d x d t = 12 x × d x d t

Como sabemos a variação da área e o valor de x temos:.

72 p o l 2 m i n = 12 × 3 [ p o l ] × d x d t

d x d t = 2 p o l m i n

Passo 3

Agora podemos calcular a variação do volume:

V = x 3

Derivando em relação ao tempo essa equação:

d d t V = d d x x 3 × d x d t

d V d t = 3 x 2 × d x d t

Substituindo os valores:

d V d t = 3 × 3 2   p o l 2 × 2   p o l m i n

d V d t = 54 p o l 3 m i n

Resposta

d V d t = 54 p o l 3 m i n

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