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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 1

15.1. Determine int_0^3 f ( x , y ) d x e int_0^4 f ( x , y ) d y .

f (x , y) = 2 x + 3 x^2 y

Passo 1

Vamos resolver essas integrais, a primeira integral fica o seguinte

int_0^3 ( 2 x + 3 x^2 y ) d x

Agora estamos integrando só em x , então fica

int_0^3 ( 2 x + 3 x^2 y ) d x = [x^2 + x^3 y]_0^3

Substituindo

int_0^3 ( 2 x + 3 x^2 y ) d x = [3^2 + 3^3 y] - [0^2 + 0^3 y] = 9 + 27 y

Passo 2

Agora falta a segunda integral

int_0^4 ( 2 x + 3 x^2 y ) d y

Essa aqui a gente está integrando em y

Ficamos com

int_0^4 (2 x + 3 x^2 y) d y = 2 x y + (3)/(2) x^2 y^2_0^4

Substituindo os limites

int_0^4 (2 x + 3 x^2 y) d y = [2 x ( 4 ) + (3)/(2) x^2 ( 4 )^2] - [2 x (0) + (3)/(2) x^2 (0)^2] = 8 x + 24 x^2

Resposta

int_0^3 (2 x + 3 x^2 y) d x = [3^2 + 3^3 y] - [0^2 + 0^3 y] = 9 + 27 y

int_0^4 (2 x + 3 x^2 y) d y = 8 x + 24 x^2

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