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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 12

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x sqrt(y^2 - x^2) d A , D = {(x , y)| 0 <= y <= 1 , 0 <= x <= y }

Passo 1

Galera, primeiro vamos escrever a integral dupla na seguinte forma:

int_0^1 int_0^y x sqrt(y^2 - x^2) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_0^y x sqrt(y^2 - x^2) d x) d y = int_0^1 ([- ((y^2 - x^2)^((3)/(2)))/(3)]_0^y) d y = int_0^1 (1)/(3) (- (y^2 - y^2)^((3)/(2)) + (y^2 - 0^2)^((3)/(2))) d y = int_0^1 (1)/(3) (- 0 + (y^2)^((3)/(2))) d y = int_0^1 (y^3)/(3) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^1 (y^3)/(3) d y = [(y^4)/(12)]_0^1 = (1)/(12)

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Resposta

(1)/(12)

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Determine o volume do sólido dado.Abaixo da superfície z = 2 x + y 2 e acima da região limitada por x = y 2 e x = y 3 .