Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x                     e                     ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y

Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.  

Passo 1

E aiiii galerinha, tudo bem? Vamos começar.

Bom, o problema solicita que calculamos as integrais através de um SCA - Sistema de Computação Algébrica.

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x                     e                     ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y

Obtendo a resposta de ambas as integrais, devemos dizer se contradiz o Teorema de Fubini e explicar o que acontece.

Vish, parece complicado isso. Como resolvo?

Muita calma, é mais fácil do que parece. Primeiro vamos utilizar algum software para resolver as integrais. Feito isso vamos comparar as respostas com o Teorema de Fubini.

Vamos lembrar o teorema de Fubini. Observe na imagem abaixo que mesmo alterando a ordem de integração, devemos encontrar o mesmo valor.

Agora vocês tiram de letra essa ein!

Bora lá!!

Passo 2

Vamos começar calculando as integrais.

Utilizando um software para resolver as integrais, vamos ter os seguintes valores:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x = 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y = - 1 2

Passo 3

Segundo o Teorema de Fubini, dentro de determinadas condições, mudar a ordem de integração não altera o valor da integral. Ou seja, aparentemente, as integrais calculadas no item anterior deveriam ter o mesmo valor, pois apenas mudamos a ordem integração.

Isso parece ser uma contradição né? Mas não!

A função a ser integrada:

x - y x + y 3

tem uma descontinuidade no ponto 0 ,   0 , sendo não limitada no seu retângulo:

R = 0 ,   1 × 0 ,   1

Pois x - y x + y 3 diverge para no ponto ( 0 ,   0 ) .

Isso então viola as condições do Teorema de Fubini, e, portanto, não podemos aplicá-lo a esta situação.

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d y   d x = 1 2

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3   d x   d y = - 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados