Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 39
Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas
Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.
Passo 1
E aiiii galerinha, tudo bem? Vamos começar.
Bom, o problema solicita que calculamos as integrais através de um SCA - Sistema de Computação Algébrica.
Obtendo a resposta de ambas as integrais, devemos dizer se contradiz o Teorema de Fubini e explicar o que acontece.
Vish, parece complicado isso. Como resolvo?
Muita calma, é mais fácil do que parece. Primeiro vamos utilizar algum software para resolver as integrais. Feito isso vamos comparar as respostas com o Teorema de Fubini.
Vamos lembrar o teorema de Fubini. Observe na imagem abaixo que mesmo alterando a ordem de integração, devemos encontrar o mesmo valor.
Agora vocês tiram de letra essa ein!
Bora lá!!
Passo 2
Vamos começar calculando as integrais.
Utilizando um software para resolver as integrais, vamos ter os seguintes valores:
Passo 3
Segundo o Teorema de Fubini, dentro de determinadas condições, mudar a ordem de integração não altera o valor da integral. Ou seja, aparentemente, as integrais calculadas no item anterior deveriam ter o mesmo valor, pois apenas mudamos a ordem integração.
Isso parece ser uma contradição né? Mas não!
A função a ser integrada:
tem uma descontinuidade no ponto , sendo não limitada no seu retângulo:
Pois diverge para no ponto .
Isso então viola as condições do Teorema de Fubini, e, portanto, não podemos aplicá-lo a esta situação.