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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 28

Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1 + e x   s e n   y e pelos planos x = ± 1   ,   y = 0   ,   y = π e z = 0 .

Passo 1

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

Ele diz que x = ± 1 , ou seja já achamos nosso primeiro limite hehe

E também que y = 0 ,   y = π esse é o nosso segundo limite

V = ∫ 0 π ∫ - 1 1 z x ,   y d x   d y

Obtemos z a partir da equação da superfície:

V = ∫ 0 π ∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 π ∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x   d y = ∫ 0 π ∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x d y

Vamos focar primeiro na de dentro

∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x

Tudo que não for x podemos considerar como constante, então nossa integral fica bem mais tranquila assim!

∫ - 1 1 1 + e x   s e n   y d x

=   x + e x   s e n y - 1 1

Aplicando os limites apenas em x temos isso aqui:

1 + e 1   s e n   y - - 1 - e - 1   s e n   y

2 + e   s e n   y - s e n   y e

Que podemos reescrever assim:

e - 1 e s e n   y + 2

Passo 3

Agora, vamos pegar o resultado de achamos e resolver essa integral

∫ 0 π e - 1 e s e n   y + 2   d y

e - 1 e * ∫ 0 π s e n   y   d y + ∫ 0 π 2 d y

e - 1 e * ( - cos ⁡ y ) + 2 y 0 π

= e - 1 e * - c o s π - ( - c o s 0 ) + 2 [ π - 0 ]

Isso daí da pra gente

e - 1 e * 2 + 2 π

2 e - 2 e + 2 π

Resposta

2 e - 2 e + 2 π

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