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Exercícios de Região Retangular e Teorema de Fubini - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Calcule

∬ R   x y 2 d A

na região R mostrada na figura abaixo,

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Questão 2

Calcule o valor da integral dupla

∬ R   x - 3 y 2   d A ,

onde R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 } .

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Questão 3

Se

f x , y = 10.000 e y 1 + x 2

representa a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano x y , onde x e y são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo - 5 ≤ x ≤ 5 e - 2 ≤ y ≤ 0 .

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Questão 4

Calcule

∬ R   x sen ⁡ y - y e x   d x   d y

onde R = - 1,1 × [ 0 , π / 2 ] .

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Questão 5

Calcule a área da região D do plano x y definida por D = x , y ∈ R 2 x 2 + y - 2 2 ≤ 4   e   x 2 + y 2 > 4

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Questão 6

2 – Calcular:

∬ R   e - x 2 d x d y

Em que R é a região delimitada por x = 4 y , y = 0 e x = 4 .

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Questão 7

Calcule:

∫ 1 4 ∫ 0 x 3 2 e y / x   d y d x

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Questão 8

Calcule a integral dupla da função f x , y = x sen ⁡ y + y e x y sobre o retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1 , - π ≤ y ≤ π .

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Questão 9

1 - Calcule ∬ R f x , y d x d y , onde:

a) f x , y = x e x y e R é o retângulo x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 3 ,   0 ≤ y ≤ 1 ;

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Questão 10

1 - Calcule ∬ R f x , y d x d y , onde:

b) f x , y = 1 x + y e R é o retângulo x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 .

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Questão 11

(Cap 15.2 – Ex 9) Calcule a integral iterada.

∫ 1 4 ∫ 1 2 x y + y x d y   d x

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Questão 12

(Cap 15.1 – Ex 4) (a) Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z = 1 + x 2 +   3 y e acima do retângulo R = 1,2 × [ 0,3 ] . Use a soma de Riemann com m = n = 2 e escolha os pontos de amostragem como os cantos inferiores esquerdos.

(b) Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do item (a).

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Questão 13

Calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2   d y   d x

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Questão 14

Calcule as integrais a seguir

∫ ∫ Ω x e y d A ;   Ω   =   [ 0,2 ] × [ 0,3 ]

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Questão 15

Calcule as integrais iteradas

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y

As respostas contradizem o Teorema de Fubini?

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Questão 16

Esboce a região cuja área é dada pela integral

∫ π / 4 3 π / 4 ∫ 1 2 r d r d θ

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Questão 17

(Cap 15.2 – Ex 15) Calcule a integral dupla.

∬ R s e n ( x + y ) d A ,   R = x , y 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ π 2

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Questão 18

Calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2 d y d x

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Questão 19

  1. Calcule o valor da integral.

∫ ∫ D x cos ⁡ y d A ; D é limitado por y = 0 ,   y = x 2 ,   x = 1

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Questão 20

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

b ) ∬ R x 5 - y 5 2 d A ,   R = x , y ��� R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   - 1 ≤ y ≤ 1

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Questão 21

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

c ) ∬ R x y e x y 2 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1

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Questão 22

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

e ) ∬ R y x 2 y 2 + 1 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

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Questão 23

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

d ) ∬ R x y 3 x 2 + 1 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2

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Questão 24

Faça as mudanças de variáveis adequadas (transformação de coordenadas) e resolva a integral

I = ∬ R y - 4 x y + 4 x d A

Sendo R a região limitada pelas retas y = 4 x , y = 4 x + 2 , y = 2 - 4 x e y = 5 - 4 x .

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Questão 25

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

a ) ∬ R x y   s e n ( x 2 ) d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ 1

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Questão 26

13 – Prove que

lim n → + ∞ ⁡ ∫ 0 1 ∫ 0 1 x n y n d x d y = 0

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Questão 27

14 – Calcule a integral dupla

lim n → + ∞ ⁡ ∫ ∫ R 1 1 + x 2 + y 2 d x d y

Onde R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 a 2 e mostre que

lim a → + ∞ ⁡ I a = 0

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Questão 28

Calcule:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

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Questão 29

1) Calcule a integral

∫ ∫ R x 1 + x y   d A ,

Onde R = 0,1 × [ 0,1 ] .

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Questão 30

1) Calcule a integral

∫ ∫ R x 1 + x y   d A ,

Onde R = 0,1 × [ 0,1 ] .

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Questão 31

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

d ) ∫ - 1 1 ∫ 0 | x | d y d x

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Questão 32

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

e ) ∫ 0 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ y x sin ⁡ y d x d y

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Questão 33

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

f ) ∫ 0 1 ∫ 1 e x ( x + y ) d y d x

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Questão 34

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

( a ) ∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x y   d y d x

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Questão 35

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

b ) ∫ - 2 2 ∫ x 2 8 - x 2 x d y d x

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Questão 36

Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir

c ) ∫ 0 2 ∫ 1 3 x - 2 sin ⁡ y d x d y

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Listas de Exercícios Resolvidos

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