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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 16

16. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

f x = sec ⁡ 2 x + t g   2 x

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de G ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x f x 2 = 2 ⋅ f x ⋅ f ´ x

d d x   f x ⋅ g x = f ´ x ⋅ g x + f x ⋅ g ´ ( x )

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

d d x t g x = s e c 2 x

d d x s e c x = s e c ⋅ t g x

d d x f g x = f ´ g x ⋅ g ´ ( x )

Agora ficou fácil derivar f ( x ) , olha só:

f x = sec ⁡ 2 x + t g   2 x

f ´ x = t g 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x ⋅ 2 + sec 2 ⁡ 2 x ⋅ 2

f ´ x = 2 ( t g 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + sec 2 ⁡ 2 x )

Passo 2

Para encontrar f ´ ´ ( x ) basta derivar f ´ ( x ) , usaremos a regra do produto. Assim:

f ´ x = 2 ( t g 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + sec 2 ⁡ 2 x )

d d x f ´ = f ´ ´ x =

2 [ sec 2 ⁡ 2 x ⋅ 2 ⋅ sec ⁡ 2 x + t g 2 x ⋅ s e c 2 x ⋅ t g 2 x ⋅ 2 + 2 ⋅ s e c 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x ⋅ t g 2 x ⋅ 2 ]

f ´ ´ x = 2 [ 2 ⋅ sec 3 ⁡ 2 x + 2 ⋅ t g 2 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + 4 ⋅ sec 2 ⁡ 2 x ⋅ t g 2 x ]

Usando relações trigonométricas como:

t g 2 2 x + 1 = sec 2 ⁡ 2 x

Podemos reduzir a expressão para f ´ ´ x ,   de acordo de como seja mais vantajoso para você.

Resposta

f ´ x = 2 ( t g 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + sec 2 ⁡ 2 x )

f ´ ´ x = 2 [ 2 ⋅ sec 3 ⁡ 2 x + 2 ⋅ t g 2 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x + 4 ⋅ sec 2 ⁡ 2 x ⋅ t g 2 x ]

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