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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 12

12. Ache as derivadas primeira e segunda da função definida pela equação dada.

f x = 2 - x 2 + x

Passo 1

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de G ( x ) , mas antes alguns lembretes:

d d x x n = n x n - 1

d d x x = 1 2 x ,   p o i s   x = x - 1 2

d d x f x g x = f ´ x ⋅ g x - f x ⋅ g ´ x g x 2

d d x c ⋅ f x = c ⋅ d d x f x = c ⋅ f ´ x ,   s e   c   f o r   c o n s t a n t e   n ã o   d e p e n d e r   d e   x .

Agora ficou fácil derivar f ( x ) , olha só:

f x = 2 - x 2 + x

f ´ x = - 1 2 x ⋅ 2 + x - 2 - x ⋅ 1 2 x 2 + x 2

= - 1 x - 1 2 - 1 x + 1 2 2 + x 2 =   - 2 x 2 + x 2

= - 2 x ⋅ 2 + x 2

Passo 2

Para encontrar f ´ ´ ( x ) basta derivar f ´ x , usando a regra da potência e do quociente temos:

f ´ x = - 2 x ⋅ 2 + x 2

d d x f ´ x = f ´ ´ x =

= - ( 0 ⋅ x ⋅ 2 + x 2 - 2 ⋅ ( 1 2 x ⋅ 2 + x 2 + x ⋅ 2 ⋅ 2 + x ⋅ 1 2   x ) x ⋅ 2 + x 2 2

= - - 1 x ⋅ 4 + 4 x + x - 2 2 + x x ⋅ 2 + x 4

= 4 x + 4 + 4 x + 4 + 2 x x ⋅ 2 + x 4

= 4 + 8 x + 6 x x x ⋅ 2 + x 4 = 4 + 8 x + 6 x x 3 2 ⋅ 2 + x 4  

Resposta

f ´ x = - 2 x ⋅ 2 + x 2

f ´ ´ ( x ) = 4 + 8 x + 6 x x 3 2 ⋅ 2 + x 4

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