Podemos obter uma aproximação útil linear da função f(x) = 1 / (1 + tg(x)) em x = 0 combinando as aproximações

1 / (1 + x) ≈ 1 - x e tg x ≈ x

para obter

1 / (1 + tgx) ≈ 1 - x

Demonstre que esse resultado é a aproximação linear padrão de 1 / (1 + t gx) em x = 0 .

Passo 1

A partir da definição de linearização, temos que se a função é derivável para um valor x = a dado, então:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Tal que a aproximação linear padrão de f em a é:

f ( x ) ≈ L ( x )

O enunciado deste exercício nos dá:

f x = 1 1 + t g ( x )

E tal função tem derivada:

f ' x = - 1 1 + s e n 2 x

Passo 2

Substituindo o valor de x fornecido pelo exercício na função original e em sua derivada temos que:

f a = f 0 = 1

f ' a = f ' 0 = - 1

Passo 3

Logo, podemos substituir esses últimos resultados encontrados na função de linearização L ( x ) e encontrar:

L x = 1 + - 1 x - 0 = 1 - x

E, do Passo 1, conseguimos demonstrar que a aproximação linear padrão é:

f ( x ) ≈ L ( x )

1 1 + t g x ≈ 1 - x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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