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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 150

Carretel para cabos

Um cabo de televisão é puxado de um grande carretel para ser colocado nos postes telefônicos da rua. Ele é desenrolado do carretel, onde está disposto em camadas de raio constante (veja a figura a seguir). Se o caminhão que puxa o cabo se desloca a uma velocidade constante de 6   p é s / s (pouco mais de 4   m i l h a s / h o r a ), use a equação s   =   r θ para determinar a que taxa ( em radianos por segundo) o carretel gira enquanto a camada de raio 1,2 pé é desenrolada.

Passo 1

A velocidade com que o caminhão puxa o cabo é uma taxa do espaço em um intervalo de tempo podendo ser representada por d s / d t = 6   p é s / s . Suponhamos que s, r e θ sejam deriváveis em t e sabendo que a camada de raio do carretel r = 1,2   p é é constante. A taxa com a qual o carretel gira (em radianos por segundo) é igual a d θ / d t .

Passo 2

s = r θ

d s d t = r d θ d t + θ d r d t  

Como r é uma constante, sabemos que d r / d t = 0 . Logo:

d s d t = r d θ d t

Passo 3

Com os dados fornecidos pelo enunciado do exercício e substituindo-os na última equação:

6 = 1,2 d θ d t

d θ d t = 5

Resposta

No momento em questão, o carretel gira a uma taxa de 5   r a d / s .

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