31. Encontre f

f'(x) = 1 + 3 * raiz(x), f(4) = 25

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f ' x = 1 + 3 x

E nosso objetivo é calcular f sabendo que f 4 = 25 .

Parece complicado?

Se temos a derivada de uma função e queremos encontrar a função, temos que fazer o caminho inverso da derivada, correto?

Esse processo é o que chamamos de antiderivada!

Se aplicarmos a antiderivação (ou primitiva) em f ' , obtemos f e a partir de f 4 podemos determinar também a constante que surge quando aplicamos esse método.

Assim como nas derivadas, temos algumas regrinhas que podemos seguir... nesse caso vamos usar a seguinte:

a x n → a x n + 1 n + 1 ,     p a r a   n ≠ - 1

Lembrando que em todo cálculo de antiderivadas temos que acrescentar uma constante C à função.

Bora lá!

Passo 2

Então vamos achar a primitiva de f ' ( x ) , isto é, f ( x ) :

f ' x = 1 + 3 x

Vamos escreves a raiz na forma de potência...

f ' x = 1 + 3 x 1 / 2

Usando a relação do Passo 1:

f x = 1 ⋅ x 0 + 1 0 + 1 + 3 ⋅ x 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

Arrumando as coisas, temos:

f x = x + 3 x 3 / 2 3 / 2 + C

Show?

Passo 3

Mas ele nos deu a seguinte condição: f 4 = 25

Aplicando esse ponto no resultado do passo 2 podemos determinar o valor da constante C .

f x = x + 2 x 3 / 2 + C → f 4 = 4 + 2 ⋅ 4 3 / 2 + C = 25

Então, temos...

C = 25 - 4 - 2 ⋅ 8

C = 5

Agora é só reescrever f x

f x = x + 2 x 3 / 2 + 5

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f x = x + 2 x 3 / 2 + 5

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