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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 26

Encontre f

f^(' ') (x) = x^6 - 4 x^4 + x + 1

Passo 1

O enunciado pediu pra gente encontrar a função f , sabendo que a sua segunda derivada é f^(' ') (x) = x^6 - 4 x^4 + x + 1 . Isso significa que precisamos encontrar a primitiva da função.

Como a gente vai fazer a operação inversa da derivação, não podemos esquecer que quando temos uma potência, do tipo f (x) = x^n , para n != - 1 , sua primitiva é dada por:

F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Então, vamos tentar separar os termos da nossa função e aplicar as regrinhas da primitivação.

Vamos lá!

Passo 2

Para acharmos a primitiva de f^(' ') (x) = x^6 - 4 x^4 + x + 1 , isto é, f^' (x) , vamos aplicar a regrinha da potência que vimos no passo 1 :

f^' (x) = (x^(6 + 1))/(6 + 1) - (4 x^(4 + 1))/(4 + 1) + (x^(1 + 1))/(1 + 1) + (x^(0 + 1))/(0 + 1) + C_1

Logo,

f^' (x) = (x^7)/(7) - (4 x^5)/(5) + (x^2)/(2) + x + C_1

Passo 3

Mas a gente quer saber quem é f , então vamos encontrar a primitiva de f^' ( x ) . Aplicando a mesma regrinha, temos:

f (x) = (1)/(7) * ((x^(7 + 1))/(7 + 1)) - (4)/(5) * ((x^(5 + 1))/(5 + 1)) + (1)/(2) * ((x^(2 + 1))/(2 + 1)) + ((x^(1 + 1))/(1 + 1)) + C_2

Logo,

f (x) = (x^8)/(56) - (2 x^6)/(15) + (x^3)/(6) + (x^2)/(2) + C_2

E encontramos a nossa função.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f (x) = (x^8)/(56) - (2 x^6)/(15) + (x^3)/(6) + (x^2)/(2) + C_2

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