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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 29

29. Encontre f

f ' ' ' t = cos ⁡ t

Passo 1

E aí! Tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f ' ' ' t = cos ⁡ t

E nosso objetivo é obter a função f .

Tem ideia de como fazemos isso?

Temos a derivada de terceira ordem de f e queremos obter f , ou seja, temos que fazer o caminho inverso da derivada...

Lembra qual é o caminho inverso da derivada? A primitiva, não é?

Se calcularmos a primitiva de f ' ' ' vamos obter f ' ' , calculando a primitiva de f ' ' vamos obter f ' e calculando a primitiva de f ' vamos obter f ...

Sacou? Vamos aplicar as regrinhas que aprendemos nessa seção.

Vale lembrar algumas relações de primitivas...

sin ⁡ x → - cos ⁡ x

cos ⁡ x → sin ⁡ x

a x n → a x n + 1 n + 1

Lembrando que ao calcular a primitiva de uma função, temos que acrescentar uma contante C .

Veja só!

Passo 2

Agora vamos achar a primitiva de f ' ' ' ( t ) , isto é, f ' ' ( t ) .

f ' ' ' t = cos ⁡ t

A primitiva do c o s é o s i n como vimos no passo 1.

f ' ' t = s e n t + C 1

Agora vamos achar primitiva de f ' ' ( t ) , isto é, f ' ( t ) .

Vimos que a primitiva de s e n é - c o s e a primitiva de C 1 é dada pela terceira regra do passo 1...

f ' t = - cos ⁡ t + C 1 ⋅ t 0 + 1 0 + 1 + C 2

f ' t = - cos ⁡ t + C 1 t + C 2

Por fim, vamos achar a primitiva de f ' ( t ) :

f t = - s e n t + C 1 ⋅ t 1 + 1 1 + 1 + C 2 ⋅ t 0 + 1 0 + 1 + C 3

Portanto,

f t = - s e n t + C 1 t 2 2 + C 2 t + C 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos derivar f três vezes para conferir o resultado...

f t = - s e n t + C 1 t 2 2 + C 2 t + C 3

Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da potência.

f ' t = - cos ⁡ t + 2 ⋅ C 1 t 2 - 1 2 + 1 ⋅ C 2 t 1 - 1

Assim,

f ' t = - cos ⁡ t + C 1 t + C 2

Derivando novamente, temos:

f ' ' t = - - s e n t + C 1

Portanto,

f ' ' t = s e n t + C 1

Por fim:

f ' ' ' t = cos ⁡ t

Opa, deu igual a nossa relação inicial. Então estamos certos!!

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f t = - s e n t + C 1 t 2 2 + C 2 t + C 3

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Encontre f . f ' ' ' t = 12 + sen ⁡ t
19. Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.) f x = 2 x + 4 sinh ⁡ x
Encontre f . f ' x = 5 x 2 3 ,f 8 = 21
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.) f x = 4 x + 7