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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 17

17. Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

V -volume

R -raio

t -tempo

Passo 2

Como queremos a taxa de aumento do volume do tumor e o tumor tem a forma esférica, usamos a famosa equação que relaciona o volume com o raio.

V = 4 3 π R 3

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de velocidade).

V = 4 3 π R 3 ⇒ d V d t = 4 3 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ R 2 ⋅ d R d t ⇒ d V d t = 4 π R 2 ⋅ d R d t

d V d t = 4 π R 2 ⋅ d R d t

Passo 4

Como a taxa de crescimento do raio, quando ele mede 0,5 cm, é de 0,001 cm por dia. Temos que d R d t = 0,001   c m / d i a e R = 0,5   c m . Assim:

d V d t = 4 π R 2 ⋅ d R d t ⇒ d V d t = 4 ⋅ π ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,001 ⇒ d V d t = 0,001 π   c m 3 / d i a

Resposta

d V d t = 0,001 π   c m 3 / d i a

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