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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 9

Ache (d y)/(d x)

Passo 1

Sabendo que y = tg e^(sqrt(x))

, (d y)/(d x) será:

(d)/(d x) (tg e^(sqrt(x)))

Nesse exercício vamos aplicar a regra da cadeia: (d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x)

Antes então vamos separar as funções que vamos usar e encontrar suas derivadas:

f = tan (u)

u = e^(sqrt(x))

Para a derivada da primeira função:

(d)/(d u) (tan (u)) = sec^2 (u)

Passo 2

Para a segunda função precisaremos aplicar a regra da cadeia novamente:

f = e^v

u = sqrt(x)

(d)/(d u) (e^v) = e^v

(d)/(d x) ( sqrt(x) ) = (1)/(2 sqrt(x))

Logo, encontramos a derivada da segunda função da primeira regra da cadeia:

= e^v (1)/(2 sqrt(x))

Substituindo u de volta:

= e^(sqrt(x)) (1)/(2 sqrt(x))

Passo 3

Voltando na primeira regra da cadeira:

= (d)/(d u) (tan (u)) (d)/(d x) (e^(sqrt(x)))

= s e c^2 ( u ) (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Substituindo u de volta:

= sec^2 (e^(sqrt(x))) (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Resposta

(d y)/(d x) = sec^2 (e^(sqrt(x))) (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

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