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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 19

17-26. Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

19. 10 - 2 + 0,4 - 0,08 + …

Passo 1

Uma série geométrica tem o seguinte formato:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Passo 2

Tudo bem, já demos uma relembrada na teoria sobre séries geométricas. Assim como comentado no passo anterior, para vermos se a série é convergente ou divergente, teremos que descobrir a razão comum r ! No nosso caso, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + … = 10 - 2 + 0,4 - 0,08 + …

Para descobrirmos r , vamos igualar os dois primeiros termos po, se liga:

a = 10

a r = - 2

Substituindo o valor de a , teremos:

10 . r = - 2

r = - 1 5

Sendo assim, temos que r = 1 5 < 1 . Dessa forma podemos concluir que a série é convergente.

Passo 3

Agora que já sabemos que a série é convergente, vamos realizar sua soma. De acordo com o que foi discutido no passo 1, a soma da série geométrica é dada por:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Sabendo que r = - 1 5 e a = 10 , teremos:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = 10 1 - - 1 5

∴ ∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = 25 3

Resposta

A   s é r i e   é   c o n v e r g e n t e .

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = 25 3

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