Prove que existe delta > 0 tal que

1 - δ < x < 1 + δ => 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/3

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente que existe um número positivo δ , tal que se 1 - δ < x < 1 + δ , então:

2 - 1 3 < x 2 + x < 2 + 1 3

Pra provar isso, vamos dar uma olhada na definição precisa de limite. Temos que:

lim x → a ⁡ f x = L

se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se a - δ < x < a + δ então:

L - ε < f x < L + ε

Assim, vamos comparar essa definição com os dados que o enunciado nos deu, para partir da condição 1 - δ < x < 1 + δ e chegar na relação 2 - 1 3 < x 2 + x < 2 + 1 3 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos supor que   δ > 0 , e vamos extrair essas informações:

a = 1 , f x = x 2 + x , L = 2 e ε = 1 3

Vamos calcular o limite e ver se ele é igual a L = 2 :

lim x → 1 ⁡ x 2 + x = 1 2 + 1 = 1 + 1 = 2

Pronto, temos que lim x → 1 ⁡ x 2 + x = 2 = L , e pela definição nossa suposição está correta.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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