Prove que existe delta > 0 tal que

1 - delta < x < 1 + delta ⟹ 2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente que existe um número positivo delta , tal que se 1 - delta < x < 1 + delta , então:

2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3)

Pra provar isso, vamos dar uma olhada na definição precisa de limite. Temos que:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que se a - delta < x < a + delta então:

L - epsilon < f (x) < L + epsilon

Assim, vamos comparar essa definição com os dados que o enunciado nos deu, para partir da condição 1 - delta < x < 1 + delta e chegar na relação 2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos supor que delta > 0 , e vamos extrair essas informações:

a = 1 , f (x) = x^2 + x , L = 2 e epsilon = (1)/(3)

Vamos calcular o limite e ver se ele é igual a L = 2 :

underset(x -> 1)(lim) x^2 + x = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Pronto, temos que underset(x -> 1)(lim) x^2 + x = 2 = L , e pela definição nossa suposição está correta.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

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