Suponha que lim x → p ⁡ f x = L . Prove que existem r > 0 e M > 0 tais que, para todo x ∈ D f ,

0 < x - p < r ⟹ f x ≤ M .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que a inequação 0 < x - p < r ⟹ f x ≤ M é verdadeira, sabendo que lim x → p ⁡ f x = L e que r > 0 e M > 0 .

Pra isso, vamos precisar usar a definição de limite, que nos diz que para todo número ε > 0 existe um número δ > 0 tal que se, 0 < x - p < δ , então f x - L < ε . É dessa definição que nós vamos partir para provar a nossa relação.

Então, vamos escolher r = δ , onde δ é o valor correspondente à definição do limite. E vamos escolher M = L + ε .

Agora vamos provar que com essas escolhas de r e M , a afirmação é verdadeira.

Vamos lá!

Passo 2

Partindo da condição 0 < x - p < r , precisamos chegar em f x ≤ M .

Beleza, se 0 < x - p < r = δ , então de acordo com a definição de limite f x - L < ε . Agora vamos manipular essa desigualdade da seguinte forma:

f x - L < ε     e   - f x - L < ε

Isso nos leva a:

f x < L + ε

E

f x > L - ε

Agora observe que L - ε < L e L + ε > L , e como escolhemos M = L + ε , temos M > L - ε e M > L .

Portanto, para todo x ∈ D f tal que 0 < x - p < r = δ , temos:

f x < L + ε ≤ M

E

f x > L - ε ≥ - M

Isso implica que f ( x ) ≤ M quando 0 < x - p < r .

Assim, provamos que existem r > 0 e M > 0 tais que, para todo x ∈ D f , 0 < x - p < r então f ( x ) ≤ M , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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