Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 10
Suponha que . Prove que existem e tais que, para todo ,
.
Passo 1
Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente provar que a inequação é verdadeira, sabendo que e que e .
Pra isso, vamos precisar usar a definição de limite, que nos diz que para todo número existe um número tal que se, , então . É dessa definição que nós vamos partir para provar a nossa relação.
Então, vamos escolher , onde é o valor correspondente à definição do limite. E vamos escolher .
Agora vamos provar que com essas escolhas de e , a afirmação é verdadeira.
Vamos lá!
Passo 2
Partindo da condição , precisamos chegar em .
Beleza, se , então de acordo com a definição de limite . Agora vamos manipular essa desigualdade da seguinte forma:
Isso nos leva a:
E
Agora observe que e , e como escolhemos , temos e .
Portanto, para todo tal que , temos:
E
Isso implica que quando .
Assim, provamos que existem e tais que, para todo , então , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉