17-40 Encontre os limites.

20. underset(x -> + oo)(lim) l n ( (x + 1)/(x) )

Passo 1

Como a função logaritmo é contínua em toda parte, segue que

underset(x -> + oo)(lim) l n ((x + 1)/(x)) = ln ( underset(x -> + oo)(l i m) ((x + 1)/(x)) )

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x encontrada na nossa razão. (Note que não alteraremos a fração original). Assim, obtemos

ln ( underset(x -> + oo)(l i m) ((x + 1)/(x)) ) = ln ( underset(x -> + oo)(l i m) (((x)/(x) + (1)/(x))/((x)/(x))) )

ln ( underset(x -> + oo)(l i m) ((1 + (1)/(x))/(1)) )

Sabemos que underset(x -> oo)(lim) (1)/(x) = 0 . Com isso, temos que

ln ( underset(x -> + oo)(l i m) ((1 + (1)/(x))/(1)) ) = l n ( 1 )

ln (1) = 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) l n ( (x + 1)/(x) ) = 0

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