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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 36

17-40 Encontre os limites.

36. underset(h -> 0)(lim) (1 - c o s 3 h)/(cos^2 5 h - 1)

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o nosso denominador da seguinte forma:

s e n^2 5 h = 1 - cos^2 5 h

- s e n^2 5 h = cos^2 5 h - 1

Nós apenas utilizamos aquela identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno de um ângulo.

Substituindo no nosso limite, vamos ter:

underset(h -> 0)(lim) (1 - c o s 3 h)/(cos^2 5 h - 1) = underset(h -> 0)(lim) (1 - c o s 3 h)/(- s e n^2 5 h)

Passo 2

Agora, vamos multiplicar o denominador e o numerador por 1 + cos 3 h para obtermos aquele produto notável no numerador.

underset(h -> 0)(lim) (1 - c o s 3 h)/(- s e n^2 5 h) = underset(h -> 0)(lim) (1 - c o s 3 h)/(- s e n^2 5 h) . (( 1 + cos 3 h ))/(( 1 + cos 3 h ))

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos^2 3 h)/(- s e n^2 5 h ( 1 + cos 3 h ))

Utilizando a mesma identidade trigonométrica do passo anterior, obtemos

underset(h -> 0)(lim) (1 - cos^2 3 h)/(- s e n^2 5 h ( 1 + cos 3 h )) = underset(h -> 0)(lim) (s e n^2 3 h)/(- s e n^2 5 h ( 1 + cos 3 h ))

Passo 3

Fazendo algumas manipulações, teremos

underset(h -> 0)(lim) (s e n^2 3 h)/(- s e n^2 5 h ( 1 + cos 3 h )) = underset(h -> 0)(lim) ((s e n^2 3 h)/(h^2))/((- s e n^2 5 h ( 1 + cos 3 h ))/(h^2))

(underset(h -> 0)(l i m (s e n^2 3 h)/(h^2)))/(underset(h -> 0)(l i m) (- s e n^2 5 h (1 + cos 3 h))/(h^2))

(underset(h -> 0)(l i m (9 s e n^2 3 h)/(9 h^2)))/(underset(h -> 0)(l i m) (- 25 s e n^2 5 h (1 + cos 3 h))/(25 h^2))

(9 underset(h -> 0)(l i m (s e n 3 h)/(3 h)) underset(h -> 0)(lim) (s e n 3 h)/(3 h))/(- 25 underset(h -> 0)(l i m) (s e n 5 h)/(5 h) underset(h -> 0)(lim) (s e n 5 h)/(5 h) underset(h -> 0)(lim) (1 + cos 3 h))

(9)/(- 25 underset(h -> 0)(lim) (1 + cos 3 h))

(- 9)/(50)

Resposta

(- 9)/(50)

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