Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.9 - Ex. 13
Se a função for contínua num número e a função for descotínua em , é possível que o quociente das duas funções seja contínuo em ? Prove sua resposta.
Passo 1
Como queremos provar que se a função for contínua num número e a função for descotínua em , é possível que o quociente das duas funções não é contínuo em . Primeiramente devemos saber o que é necessário provar que qualquer função seja contínua num número , se e somente se os três requisitos apresentados abaixo forem satisfeitos a função é chamada contínua.
está definida;
existir;
)
Passo 2
Como o enunciado afirma que é descontínua em , então concluímos que falhou em algum dos três testes.
Passo 3
Se queremos provar que também é descontínuo em , devemos organizar está função de forma que as falhas de se apresentem nessa função. Para isso vamos dizer que . E aplicando o Teorema de Limite 6 temos que
Tendo aplicado Teorema de Limite 6 vimos que fazendo os teste para podemos usar os mesmos valores encontrados para somente o multiplicado com os encontrados separadamente para . Como falhou nos seus testes então falhará nesses mesmos testes, e portanto é descontínua em .
Resposta
Não é possível.