Determine dy.

y = cot^(-1)(1 / x^2) + cos^(-1)(2x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

A função contém uma soma, então a gente deriva cada “pedaço” e soma normalmente.

Primeiramente, o que é c o t g^(- 1 ) e c o s^(- 1) ?

Vamos lá, sempre que elevamos algo a -1 determinamos a inversa, certo?

Então, c o t g^(- 1) nada mais é que a função inversa da cotangente, a arco cotangente. E c o s^(- 1) é a função inversa do cosseno, a arco cosseno.

Vamos reescrever a função então...

y = a r c c o t g ((1)/(x^2)) + arccos 2 x

E como que deriva a r c c o t g x e a r c c c o s x ??

Bom, a regra é a seguinte: (a r c c o t g x)^' = - (1)/(1 + x^2) e ( arccos x ) = - (1)/(sqrt(1 - x^2)) .

Usando a Regra da Cadeia então, vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = - (1)/(1 + ((1)/(x^2))^2) xx ((1)/(x^2))^' + (- (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2))) xx ( 2 x ) '

Fazendo as derivadas que faltam...

y^' = - (1)/(1 + ((1)/(x^2))^2) xx ( - (2)/(x^3) ) + (- (1)/(sqrt(1 - 4 x^2))) xx 2

Pronto, essa é a derivada pedida. Mas se você quiser simplificar...

Resposta

Simplificando você chega nisso:

d y = (2)/(x^4 + 1) - 2 // ( sqrt(1 - 4 x^2) )

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