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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 6

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y .

Passo 1

E aiii meus queridooooos, tudo bem com vocês? Espero que sim!!!

Vamos nessa! Precisamos determinar a área da superfície. Onde, essa superfície é a parte do paraboloide que esta acima do plano x y .

Paraboloide: z = 4 - x 2 - y 2 .

Como iremos começar?

Lembra que a formula da área de superfície tem essa cara:

A s u p = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Onde, d A = d x d y .

Observe também que o enunciado nos deu a função z . Assim, nosso primeiro objeto vai ser fazer as derivas parciais, ou seja, uma derivada em relação a x e outra derivada em relação a y .

Em segundo momento, vamos determinar a região de integração, beleza?

Para obtermos a região que está acima do plano x y , basta fazermos a interseção com o plano z = 0 . Desta forma, obtemos:

x 2 + y 2 = 4

uma região circular de raio 2 e centrado na origem.

Isso nos permite utilizar coordenadas polares, pois vai ficar muito mais fácil de resolver a integral. Em coordenadas polares:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

d x d y = r d r d θ

Feito isso, conseguimos saber nossos intervalos de integração de r e θ . O raio, através da formula acima vimos que vai de 0 até 2 . Já para o ângulo não temos nenhuma restrição no enunciado, então vai ser:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Agora ficou moleza começar essa ein, vamos lá!!!

Passo 2

Temos a seguinte função de z , que foi fornecida no enunciado:

z = 4 - x 2 - y 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z ( x , y ) . Sendo assim,

∂ z ∂ x = - 2 x

∂ z ∂ y = - 2 y

Substituindo na integral a seguir:

A s u p = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A s u p = ∬ D 1 + - 2 x 2 + - 2 y 2 d A

Simplificando, vamos ter:

A s u p = ∬ D 1 + 4 x 2 + y 2 d A

Passo 3

Para obtermos a região que está acima do plano x y , basta fazermos a interseção com o plano z = 0 na seguinte expressão:

z = 4 - x 2 - y 2

Fazendo z = 0 , vamos obter:

x 2 + y 2 = 2 2

uma região circular de raio 2 e centrado na origem. Porque raio 2 ? É só você comparar com a expressão de um círculo:

x 2 + y 2 = r 2

Observe que temos o raio elevado ao quadrado.

Como estamos trabalhando em uma região circular, é conveniente descrevê-la em coordenadas polares. Isso vai facilitar muito a resolução da integral.

Em coordenadas polares, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

d x d y = r d r d θ

Portanto, temos os seguintes limites:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

O raio a gente viu logo acima, seu valor máximo é 2 , logo ele varia de 0 até 2 . Já para o ângulo, não temos nenhuma restrição dada no enunciado, logo como se trata de um circulo completo ele deve ir de 0 até 2 π .

Assim, substituindo os valores na integral, vamos ter a seguinte integral:

A s u p = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

Passo 4

Agora precisamos resolver a integral.

Lembra que sempre começamos integrando de dentro para fora.

A s u p = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 1 + 4 r 2 d r d θ

Integrando em d r . Aqui precisamos fazer uma substituição do tipo:

u = 1 + 4 r 2

d u 8 = r d r

Substituindo na integral, temos:

A s u p = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 u   d u 8 d θ

Integrando em d u , e voltando a variável r . Vamos ter:

A s u p = ∫ 0 2 π 2 3 1 + 4 r 2 3 2 8 0 2 d θ

Aplicando os limites de integração:

A s u p = ∫ 0 2 π 17 3 / 2 - 1 12 d θ

Repare que ficamos com uma integral simples em d θ . Integrando vamos ter:

A s u p = 17 3 / 2 - 1 12 ( θ ) 0 2 π

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

A s u p = 17 3 / 2 - 1 12 2 π

Simplificando, nossa resposta é:

A s u p = π 17 3 / 2 - 1 6

Resposta

A s u p = π 17 3 / 2 - 1 6

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