19 - Centroide de um triângulo situa-se na interseção das medianas do triângulo Você deve recordar que o ponto dentro de um triângulo que se situe a um terço do caminho de cada lado em direção ao vértice oposto é o ponto onde as três medianas do triângulo se cruzam. Demonstre que o centroide está situado na interseção das medianas, mostrando que ele também está situado a um terço de distância de cada lado em direção ao vértice oposto. Para isso, siga os seguintes passos.

i) Coloque um lado do triângulo no eixo x como no item (b) da figura a seguir. Expresse dm em termos de L e dy.

ii) Use triângulos semelhantes para mostrar que L = (b/h) (h - y). Substitua essa expressão por L em sua fórmula para dm.

iii) Mostre que y = h/3.

iv) Faça o mesmo com os outros lados.

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Assim:

Resolvendo a integral teremos que

Substituindo teremos:

Logo:

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Resolvendo a integral teremos:

Logo:

Sendo assim:

Assim fica demonstrado!