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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 48

No Exercício ∫ 3 . s e c 4   3 x   d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 3 . s e c 4   3 x   d x =   3 ∫ s e c 4   3 x   d x

Vamos usar a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

Substituindo:

3 ∫ s e c 4   3 x   d x = 3 s e c 4 - 2 3 x .   t g   3 x 3 ( 4 - 1 )   + 4 - 2 4 - 1 ∫ s e c 4 - 2 3 x d x

3 ∫ s e c 4   3 x   d x = 3 s e c 2 3 x .   t g   3 x 3.3   + 2 3 ∫ s e c 2 3 x d x

= 3 . s e c 2 3 x .   t g   3 x 3.3   + 3.2 3 ∫ s e c 2 3 x d x

= s e c 2 3 x .   t g   3 x 3   + 2 ∫ s e c 2 3 x d x

Passo 3

Por último resolvemos ∫ s e c 2 3 x d x usando a fórmula:

∫ s e c 2   a x   d x = 1 a . t g   a x

Substituindo:

= s e c 2 3 x .   t g   3 x 3   + 2 1 3 . t g   3 x

= s e c 2 3 x .   t g   3 x 3   + 2 3 . t g   3 x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ 3 . s e c 4   3 x   d x = s e c 2 3 x .   t g   3 x 3   + 2 3 . t g   3 x + c

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