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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 50

No Exercício ∫ 16 x 3   ( l n   x ) 2     d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais

Passo 1

O enuciado nos da uma integral e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 16 x 3   ( l n   x ) 2     d x = 16 ∫ x 3   ( l n   x ) 2     d x

Agora pra continuar desenvolvendo usaremos a fórmula abaixo:

∫ x n   ( l n   x ) m     d x   = x n + 1 ( l n   a x ) m n + 1 - m n + 1 ∫ x n ( l n   a x ) m - 1 d x

Subtituindo:

16 ∫ x 3   ( l n   x ) 2     d x = 16 x 3 + 1 ( l n   x ) 2 3 + 1 - 2 3 + 1 ∫ x 3 ( l n   x ) 2 - 1 d x

= 16 x 4 ( l n   x ) 2 4 - 2 4 ∫ x 3 ( l n   x ) d x

= 16 . x 4 ( l n   x ) 2 4 - 16 . 2 4 ∫ x 3 ( l n   x ) d x

  = 4 . x 4 ( l n   x ) 2 - 8 ∫ x 3 ( l n   x ) d x

Passo 3

Por último precisamos resolver ∫ x 3 ( l n   x ) d x usando a fórmula acima novamente teremos:

∫ x n   ( l n   x ) m     d x   = x n + 1 ( l n   a x ) m n + 1 - m n + 1 ∫ x n ( l n   a x ) m - 1 d x

∫ x 3 ( l n   x ) d x = x 3 + 1 ( l n   x ) 3 + 1 - 1 3 + 1 ∫ x 3 ( l n   x ) 1 - 1 d x

= x 4 ( l n   x ) 4 - 1 4 ∫ x 3 d x

= x 4 ( l n   x ) 4 - 1 4 x 4 4

= x 4 ( l n   x ) 4 - x 4 16

Substituindo:

= 4 . x 4 ( l n   x ) 2 - 8 x 4 ( l n   x ) 4 - x 4 16

= 4 . x 4 ( l n   x ) 2 - 8 . x 4 ( l n   x ) 4 + 8 . x 4 16

= 4 . x 4 ( l n   x ) 2 - 2 x 4 ( l n   x ) + x 4 2

Resposta

∫ 16 x 3   ( l n   x ) 2     d x = 4 . x 4 ( l n   x ) 2 - 2 x 4 ( l n   x ) + x 4 2

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