No Exercício ∫ c o s s e c 5   x   d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Vamos usar a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ c o s s e c n a x   d x = -   c o s s e c n - 2 a x   . c o t g   a x   a . n - 1 +   n - 2 n - 1 ∫ c o s s e c n - 2 a x   d x

Substituindo:

∫ c o s s e c 5   x   d x =   -   c o s s e c 5 - 2   x   . c o t g   x   1 . 5 - 1 +   5 - 2 5 - 1 ∫ c o s s e c 5 - 2 a x   d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 +   3 4 ∫ c o s s e c 3   x   d x

Pra continuar resolvendo é necessário calcular ∫ c o s s e c 3   x   d x , usando a fórmula acima:

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 +   3 4 -   c o s s e c 3 - 2 x   . c o t g   x   1 . 3 - 1 + 3 - 2 3 - 1 ∫ c o s s e c 3 - 2 x   d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 +   3 4 - c o s s e c   x   . c o t g   x   2 + 1 2 ∫ c o s s e c   x   d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 -   3 4 . c o s s e c   x   . c o t g   x   2 + 3 8 ∫ c o s s e c   x   d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 +   3 4 s e c 3 - 2 x .   t g   x 1 . ( 3 - 1 )   + 3 - 2 3 - 1 ∫ c o s s e c 3 - 2   x d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 +   3 4 s e c   x .   t g   x 2   + 1 2 ∫ c o s s e c   x d x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 + 3 . s e c   x .   t g   x 8   +   3 8 ∫ c o s s e c   x d x

Passo 3

Por ultimo Usaremos a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ c o s s e c   x d x = -   l n   c o s s e c   x + c o t g   x

Substituindo:

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 + 3 . s e c   x .   t g   x 8   +   3 8 -   l n   c o s s e c   x + c o t g   x

=   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 + 3 . s e c   x .   t g   x 8   -     3 8 l n   c o s s e c   x + c o t g   x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ c o s s e c 5   x   d x =   -   c o s s e c 3   x   . c o t g   x   4 + 3 . s e c   x .   t g   x 8   -     3 8 l n   c o s s e c   x + c o t g   x + c

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