Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 19
19 - Neste problema, vamos indicar como mostrar que as trajetórias são elipses quando os
autovalores são imaginários puros. Considere o sistema:
(a)Mostre que os autovalores da matriz de coeficientes são imaginários puros se, e somente
se,
(b)As trajetórias do sistema (i) podem ser encontradas convertendo-se as Eqs. (i) em uma
única equação
Use a primeira das Eqs. (ii) para mostrar que a Eq. (iii) é exata.
(c)Integrando a Eq. (iii), mostre que
em que k é uma constante. Use as Eqs. (ii) para concluir que o gráfico da Eq. (iv) é sempre uma
elipse.
Sugestão: Qual é o discriminante da forma quadrática na Eq. (iv)?
Passo 1
O sistema fornecido é:
Passo 2
- Colocando , temos que:
- Agora,
- Seja a solução da equação então:
- O determinante da forma quadrática é:
Tenhamos .
Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.
Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.
Então os autovalores são .
Os valores próprios serão puramente imaginários se e ou se e
Passo 3
e
Então,
Agora vamos fazer a seguinte comparação:
Onde
E
Então e
E
Da parte (a) temos que
Ou sejam
Consequentemente .
Dessa forma, a equação acima é exata.
Passo 4
E
Portanto a equação de integração é:
Passo 5
A configuração dá
Ou,
Se
Dessa forma, passamos a ter:
Portanto, a solução é:
Onde é alguma constante arbitrária.
Para melhorar a visualização, vamos fazer a seguinte alteração.
Onde
Temos que é outra constante arbitrária.
Passo 6
Portanto, o gráfico da equação é sempre uma elipse.
Resposta
a) Os valores próprios serão puramente imaginários se e ou se e
b) Veja a resolução
c) Portanto, o gráfico da equação é sempre uma elipse.