12 - d x d t = 2 - 5 2 9 5 - 1 x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  A - λ I = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n × n λ I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

d x d t = 2 - 5 2 9 5 - 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 2 - 5 2 9 5 - 1 ξ e r t

r ξ e r t = 2 - 5 2 9 5 - 1 ξ e r t

= 2 - r - 5 2 9 5 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

2 - r - 5 2 9 5 - 1 - r = 0

r 2 - r + 5 2 = 0

r 1 , 2 = 1 ± 3 i 2

Portanto, os autovalores r 1,2 = 1 ± 3 i 2 .

Passo 3

Quando  r = 1 + 3 i 2 , a equação ( 2 ) fornece:

3 + 3 i 2 - 5 2 9 5 1 - 3 i 2 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera:

( 3 - 3 i ) ξ 1 = 5 ξ 2

Então o autovetor correspondente é ξ 1 = 5 3 - 3 i

Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor r 2 = 1 - 3 i 2 é ξ 1 = ξ 2 .

Portanto, ξ 2 = 5 3 + 3 i

Passo 4

b) Como os autovalores são complexos, o ponto crítico ( 0 ,   0 ) é um ponto em espiral, mas como a parte real do autovalor é positiva, pode-se observar que o ponto crítico é um ponto espiral instável.

Passo 5

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Passo 6

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Resposta

  1. Os autovalores são   r 1,2 = 1 ± 3 i 2 .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 1 + 3 i 2 é: ξ 1 = 5 3 - 3 i

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = 1 - 3 i 2   é: ξ 2 = 5 3 - 3 i

  3. O ponto crítico é um ponto espiral instável.
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