Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 12

12 - (d x)/(d t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  |A - lambda I| = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n xx n e  lambda I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[2,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1]]) (xi e^(r t))

= ([[2,-,r,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

|[[2,-,r,-,(5)/(2)],[(9)/(5),-,1,-,r]]| = 0

r^2 - r + (5)/(2) = 0

r_1 , 2 = (1 +- 3 i)/(2)

Portanto, os autovalores r_1,2 = (1 +- 3 i)/(2) .

Passo 3

Quando  r = (1 + 3 i)/(2) , a equação ( 2 ) fornece:

([[(3 + 3 i)/(2),-,(5)/(2)],[(9)/(5),(1 - 3 i)/(2)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera:

( 3 - 3 i ) xi_1 = 5 xi_2

Então o autovetor correspondente é xi_1 = ([[5],[3,-,3,i]])

Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor r_2 = (1 - 3 i)/(2) é xi_1 = xi_2 .

Portanto, xi_2 = ([[5],[3,+,3,i]])

Passo 4

b) Como os autovalores são complexos, o ponto crítico ( 0 , 0 ) é um ponto em espiral, mas como a parte real do autovalor é positiva, pode-se observar que o ponto crítico é um ponto espiral instável.

Passo 5

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Passo 6

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Resposta

  1. Os autovalores são r_1,2 = (1 +- 3 i)/(2) .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = (1 + 3 i)/(2) é: xi^1 = ([[5],[3,-,3,i]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = (1 - 3 i)/(2) é: xi^2 = ([[5],[3,-,3,i]])

  2. O ponto crítico é um ponto espiral instável.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas..
Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas..
Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano. .
Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas..
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.26. x ( 3–x ) y ″+( x+1 ) y '-2 y=0