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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.1 - Ex. 19

19. Poluição da água Há um vazamento de combustível em um petroleiro avariado no mar. A tabela a seguir mostra que a avaria apresenta uma piora, pois o vazamento aumenta a cada hora.

a. Superestime e subestime a quantidade total de petróleo vazada 5 horas depois do acidente.

b. Repita o item (a) para estimar a quantidade total de petróleo vazada 8 horas depois do acidente.

c. O tanque continua a vazar 720 gal/h depois das primeiras 8 horas. Se o petroleiro continha 25.000 galões de combustível, aproximadamente, quantas horas mais decorrerão, na pior das hipóteses, até que todo o petróleo vaze? E na melhor das hipóteses?

Passo 1

a.

Para superestimar devemos fazer uma soma superior:

Vamos dizer que o vazamento durante a primeira hora é igual a 70   g a l / h , durante a segunda 97   g a l / h , durante a terceira 136   g a l / h , durante a quarta 190   g a l / h e durante a quinta 265   g a l / h .

Vamos chamar de V s u p e r e s t i m a d o , o volume superestimado de petróleo que vazou:

V s u p e r e s t i m a d o = 1 ⋅ 70 + 1 ⋅ 97 + 1 ⋅ 136 + 1 ⋅ 190 + 1 ⋅ 265

V s u p e r e s t i m a d o = 758   g a l

Já para subestimar o vazamento precisamos fazer uma soma inferior:

Vamos dizer que o vazamento durante a primeira hora é igual a 0   g a l / h , durante a segunda 70   g a l / h , durante a terceira 97   g a l / h , durante a quarta 136   g a l / h e durante a quinta 190   g a l / h .

Vamos chamar de V s u b e s t i m a d o , o volume subestimado de petróleo que vazou:

V s u b e s t i m a d o = 1 ⋅ 5 0 + 1 ⋅ 70 + 1 ⋅ 97 + 1 ⋅ 136 + 1 ⋅ 190

V s u b e s t i m a d o = 493   g a l

Passo 2

b.

Da mesma forma qua antes, vamos subestimar e superestimar a quantidade de petróleo vazada, a diferença é que agora temos que pegar mais valores:

V s u p e r e s t i m a d o = 1 ⋅ 70 + 1 ⋅ 97 + 1 ⋅ 136 + 1 ⋅ 190 + 1 ⋅ 265 + 1 ⋅ 369 + 1 ⋅ 516 + 1 ⋅ 720

V s u p e r e s t i m a d o = 2.363   g a l

V s u b e s t i m a d o = 1 ⋅ 5 0 + 1 ⋅ 70 + 1 ⋅ 97 + 1 ⋅ 136 + 1 ⋅ 190 + 1 ⋅ 265 + 1 ⋅ 369 + 1 ⋅ 516

V s u b e s t i m a d o = 1 . 6 9 3   g a l

Passo 3

c.

A pior das hipóteses é quando superestimamos o vazamento, então sabemos que durante as primeiras 8 h o tanque perdeu 2.363   g a l de petróleo. Antes de iniciar o vazamento ele tinha 25.000   g a l , então após 8h o tanque vai possuir:

25.000   g a l - 2.363   g a l = 22.637   g a l

Se após as 8 h iniciais o tanque vaza a 720   g a l / h   ele vai continuar vazando por

720   g a l / h   = 2 2 . 63 7   g a l t

t = 22.637   g a l 720   g a l / h

t = 31,4   h

Passo 4

c.

Já na melhor das hipóteses devemos subestimar o vazamento. Então nas 8 primeira horas, o vazamento foi de 1.643   g a l e sobrou no tanque:

25.000   g a l - 1.6 9 3   g a l = 2 3 . 3 0 7   g a l

O que sobrou demora para vazar uma quantidade de tempo:

720   g a l / h   = 23.3 0 7   g a l t

t = 23.3 0 7   g a l 720   g a l / h

t = 32,4   h

Resposta

a. V s u p e r e s t i m a d o = 758   g a l

V s u b e s t i m a d o = 5 43   g a l

b. V s u p e r e s t i m a d o = 2.363   g a l

V s u b e s t i m a d o = 1.6 9 3   g a l

c. Pior das hipóteses:

t = 31,4   h

Melhor das hipóteses:

t = 3 2 , 4   h

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