Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 1 x + x x 3 d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Vamos começar essa dando uma arrumada na casa:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ 1 x 1 2 + x 3 3 d x

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 + x 3 2 3 d x

Passo 2

Nossa integral vai ficar assim, se a gente separar:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 d x + ∫ x 3 2 3 d x

Botando as constantes pra fora:

∫ 1 x + x x 3 d x = ∫ x - 1 2 d x + 1 3 ∫ x 3 2 d x

Pra primeira integral:

∫ x - 1 2 d x = x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C 1 = 2 x 1 2 + C 1

Pra segunda:

1 3 ∫ x 3 2 d x = 1 3 x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C 2 = 2 x 5 2 15 + C 2

Juntando as duas, vamos ter duas constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ 1 x + x x 3 d x = 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = d d x 2 x 1 2 + d d x 2 x 5 2 15 + d d x ( C )

Derivando,

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = 1 2 ( 2 x - 1 2 + 5 2 2 15 x 3 2 + 0

Arrumando,

d d x 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C = 1 x + x 3 2 3

Resposta

∫ 1 x + x x 3 d x = 2 x 1 2 + 2 x 5 2 15 + C

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