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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 2 x 2 - 3 2 d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Vamos começar essa dando uma arrumada na casa:

∫ 2 x 2 - 3 2 d x = ∫ ( 4 x 4 - 12 x 2 + 9 ) d x

Passo 2

Nossa integral vai ficar assim, se a gente separar:

∫ 2 x 2 - 3 2 d x = ∫ 4 x 4 d x - ∫ 12 x 2 d x + ∫ 9 d x

Botando as constantes pra fora:

∫ 2 x 2 - 3 2 d x = 4 ∫ x 4 d x - 12 ∫ x 2 d x + 9 ∫ d x

Pra primeira integral:

4 ∫ x 4 d x = 4 x 4 + 1 4 + 1 + C 1 = 4 x 5 5 + C 1

Pra segunda:

- 12 ∫ x 2 d x = - 12 x 2 + 1 2 + 1 + C 2 = - 4 x 3 + C 2

Pra terceira, que é a integral de x 0 :

9 ∫ d x = 9 x 0 + 1 0 + 1 + C 3 = 9 x + C 3

Juntando, vamos ter três constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ 2 x 2 - 3 2 d x = 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d x 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C = d d x 4 x 5 5 + d d x - 4 x 3 + d d x ( 9 x ) + d d x ( C )

Derivando,

d d x 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C = 5 4 x 4 5 - 3 4 x 2 + 9 + 0

Arrumando,

d d x 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C = 4 x 4 - 12 x 2 + 9

d d x 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C = 2 x 2 - 3 2

Resposta

∫ 2 x 2 - 3 2 d x = 4 x 5 5 - 4 x 3 + 9 x + C

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Calcule a integral definidaint_(- 1)^2 ( 3 x^2 - 4 x - 1 ) d x usando os resultados:int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: cab (Teorema dado no livro).
Se f for contínua em [ a , b ] , prove que:|int_a^b f (x) d x| = int_a^b |f (x)| d x (Sugestão: - |f (x)| = f (x) = | f (x) | .)
Calcule a integral definidaint_2^(- 1) (2 x + 1)^2 d x usando os resultados:int_(- 1)^2 x^2 d x = 3 int_(- 1)^2 x d x = (3)/(2)
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: bca (Teorema dado no livro).