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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 9

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ x 3 x d x

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de x de um certo grau vai ser o x , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Passo 2

Nossa integral vai ficar:

∫ x 3 x d x = ∫ x 3 × x 1 2 d x = ∫ x 7 2 d x

Aplicando o que a gente aprendeu:

∫ x 7 2 d x = x 7 2 + 1 7 2 + 1 + C

∫ x 7 2 d x = x 9 2 9 2 + C

Arrumando:

∫ x 7 2 d x = 2 9 x 9 2 + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em dois termos:

d d x 2 9 x 9 2 + C = d d x 2 9 x 9 2 + d d x C

Derivando,

d d x 2 9 x 9 2 + C = 9 2 × 2 9 x 9 2 - 1 + 0

Arrumando,

d d x 2 9 x 9 2 + C = x 7 2

d d x 2 9 x 9 2 + C = x 3 x

Resposta

∫ x 7 2 d x = 2 9 x 9 2 + C

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