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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.1 - Ex. 18

Nos Exercícios 15-18, utilize uma soma finita para estimar o valor médio de f no intervalo dado, dividindo-o em quatro subintervalos de comprimento igual e avaliando f nos pontos médios dos subintervalos.

18. f t = 1 - cos ⁡ π t 4 4 em 0 ,   4

Passo 1

Vamos dividir f em 4 subintervalos: 0 ,   1 ,   1 ,   2 ,   2 ,   3   e   3 ,   4 . Seus pontos médios são: m 1 = 0,5 , m 2 = 1,5 , m 3 = 2,5   e m 4 = 3,5 , respectivamente.

Passo 2

Agora precisamos achar a altura que cada retângulo terá, para isso vamos aplicar os valores dos pontos médios na função:

1:

f 1 ( 0,5 ) = 1 - cos ⁡ π 0,5 4 4

f 1 0,5 =   1 - cos ⁡ π 8 4

f 1 0,25 =   0,27145

2:

f 2 1,5 =   1 - cos ⁡ π 1,5 4 4

f 2 1,5 =   1 - cos ⁡ 3 π 8 4

f 2 1,5 = 0,97855

3:

f 3 2,5 =   1 - cos ⁡ π 2,5 4 4

f 3 2,5 =   1 - cos ⁡ 5 π 8 4

f 3 2,5 = 0,97855

4:

f 4 3,5 =   1 - cos ⁡ π 3,5 4 4

f 4 3,5 =   1 - cos ⁡ 7 π 8 4

f 4 3,5 = 0,27145

Passo 3

Para acharos a área total só precisamos somar a área dos 4 retângulos:

Á r e a = b 1 ⋅ h 1 + b 2 ⋅ h 2 + b 3 ⋅ h 3 + b 4 ⋅ h 4

Á r e a = 1 ⋅ 0,27145 + 1 ⋅ 0,97855 + 1 ⋅ 0,97855 + 1 ⋅ 0,27145

Á r e a = 2 , 5

O valor médio da função vale:

V a l o r   m é d i o = Á r e a   s o b   a   c u r v a C o m p r i m e n t o   d a   b a s e

V a l o r   m é d i o = 2 , 5 4

V a l o r   m é d i o = 5 8

Resposta

V a l o r   m é d i o = 5 8

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∫ 8 t 3 + t 2 2 + t d t
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