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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.9 - Ex. 19

19. Para o tumor do Exercício 17, qual será a taxa de crescimento da sua área quando seu raio for 0,5 cm?

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Identificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Imagine a situação e faça um diagrama:

Variáveis:

A -Área

R -raio

t -tempo

Passo 2

Como queremos a taxa de aumento da área do tumor, e o tumor tem a forma esférica, usamos a famosa equação que relaciona a área com o raio.

A = 4 π R 2

Passo 3

Agora que temos a equação que relaciona nossas variáveis. Vamos derivar implicitamente em relação a t, ou seja, vamos derivar em ambos os lados da igualdade em relação a t (pois estamos falando de taxa de variação).

A = 4 π R 2 ⇒ d A d t = 4 ⋅ π ⋅ 2 ⋅ R ⋅ d R d t

d A d t = 8 π R ⋅ d R d t

Passo 4

Como a taxa de crescimento do raio, quando ele mede 0,5 cm, é de 0,001 cm por dia. Temos que d R d t = 0,001   c m / d i a e R = 0,5   c m . Assim:

d A d t = 8 π R ⋅ d R d t ⇒ d A d t = 8 ⋅ π ⋅ 0,5 ⋅ 0,001 ⇒ d A d t = 0,004   c m 2 / d i a

Resposta

0,004   c m 2 / d i a

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